Funktion

02.03.2015, 18:12

Sofia93

Funktion

Meine Frage:
Hallo Matheboard!

Für welche $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = ld \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-|x|}\right) \end{eqnarray*}$

sinnvoll? Lösen Sie (falls möglich) nach x auf und skizzieren Sie anschließend die Menge aller $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ für die die Gleichung erfüllt ist.

Geben Sie das größtmögliche Definitionsintervall $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1 \in D \end{eqnarray*}$ und eine geeignete Zielmenge $\begin{eqnarray*} W \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, sodass $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow W \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(x) := ld \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-|x|}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ eine wohldefinierte bijektive Abbildung beschreibt. Wie lautet die Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray*} f^{-1} : W \rightarrow D? \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich habe hier eine Musterlösung, jedoch verstehe ich einige Schritte nicht:

Zu Anfang wieso darf man das im folgenden Schritt Erweitern? Das verändert doch den Definitionsbereich?

Für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} >|x| \end{eqnarray*}$ d.h. für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = ld \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-|x|}\right) = ld \left( \frac{\sqrt{x^2+1}+|x|}{\underbrace{x^2+1-|x|^2}_{\geq 1}}\right) \geq ld(1) =0 \end{eqnarray*}$

sinnvoll! Wie kommt man auf? $\begin{eqnarray*} \underbrace{x^2+1-|x|^2}_{\text{ Ich weiß, dass da } x^2-|x|^2 \text{ wegfällt}} \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \geq ld(1) =0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt{x^2+1}+|x| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0 | \infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist und auch ld streng monoton steigt ergibt sich nachstehende Skizze:

Kann ich jetzt nicht hochladen unglücklich

Für $\begin{eqnarray*} y \in (-\infty | 0) \end{eqnarray*}$ gibt es keine Lösungen. Für $\begin{eqnarray*} y \in [0 | \infty) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} y = ld(\sqrt{x^2+1}+|x|) \Leftrightarrow 2^y = \sqrt{x^2+1}+|x| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} =2^y -|x| \Leftrightarrow x^2+1 = 2^{2y} - 2 |x| \cdot 2^{2y} + |x|^2 \end{eqnarray*}$ und jetzt ist da noch

$\begin{eqnarray*} \wedge |x| \leq 2^y \end{eqnarray*}$ (Wie kommt man darauf?)

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow |x| = \frac{2^y - 2^{-y}}{2} \end{eqnarray*}$

Auf das Gleichheitszeichen (direkt über dem Satz hier) zeigt jetzt ein Feil mit $\begin{eqnarray*} -2^y \leq 2^y \end{eqnarray*}$

(Diesen Schritt verstehe ich auch nicht.

Man kommt dann schließlich zu:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x = \frac{2^y - 2^{-y}}{2} \in [0 | \infty) \vee x = -\frac{2^y - 2^{-y}}{2} \in (-\infty | 0] \end{eqnarray*}$

Somit muss $\begin{eqnarray*} D:=[0 | \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W:=[0 | \infty) \end{eqnarray*}$ gewählt werden damit $\begin{eqnarray*} 1 \in D) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f : D \rightarrow W \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} y = f(x) := ld \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-|x|}\right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ bijektiv wird. Es folgt zudem für $\begin{eqnarray*} x \in D, y \in W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \Leftrightarrow f^{-1} = x = \frac{2^y - 2^{-y}}{2} \end{eqnarray*}$ .

Also meine Verständnisprobleme, sind die Skizze unglücklich

dann die erwähnten Schritte, die ich nicht verstanden habe unglücklich

Ich weiß außerdem nicht wie man das größtmögliche Definitionsintervall bestimmt hat und eine geeignete Zielmenge, damit dies eine bijektive Abbildung beschreibt unglücklich

Ich wäre wirklich dankbar für jegliche Hilfe, denn ich schreibe am Freitag eine Klausur und in diesen Aufgaben bin ich einfach nicht fit unglücklich

Danke und liebe Grüße Sofia

02.03.2015, 21:00

RavenOnJ

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