Argumentation ausreichend?

02.03.2015, 19:19

Lorde0000

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Argumentation ausreichend?

Ein Kommilitone und ich streiten uns gerade darüber, ob meine Argumentation ausreicht oder nicht.
Undzwar geht es um folgende Aufgabe:

T: R^n -> R^n
T ist linear.

z.z.: T ist umkehrbar -> Kern T = {0}

Meine Argumentation ist sehr einfach:

T ist umkehrbar => T ist bijektiv => T ist injektiv => Kern T = {0}

Mein Kommilitone meint jetzt, dass man diese Folgerungen noch beweisen müsste. Was meint ihr?

02.03.2015, 19:23

bijektion

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Kann man eigentlich so machen. Du kannst natürlich auch aus der Tatsache, dass es zu jedem Element $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Tx=y \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ die Behauptung schließen.

02.03.2015, 19:24

goldfisch91

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Da finde ich meine Lösung aber schöner Engel

Engel

EDIT: (ich bin der TE. hab grad mein PW vergessen)

02.03.2015, 19:27

10001000Nick1

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Bijektiv ist nur ein anderes Wort für umkehrbar. Damit wäre die erste Implikation (sogar Äquivalenz) klar.
Laut Definition ist eine Funktion bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Also folgt die zweite Implikation aus der Definition.

Das einzige, was man zeigen muss, ist $\begin{eqnarray*} T \text{ injektiv }\Rightarrow\operatorname{Kern} T=\{0\} \end{eqnarray*}$ , was aber eigentlich auch offensichtlich ist.

Edit: Zu spät...

02.03.2015, 19:29

goldfisch91

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Und warum muss ich genau das zeigen? ich bin wahrscheinlich etwas verwirrt, weil man da mehrere Folgerungen hat. Also man muss das wahrscheinlich zeigen, weil es "klar" ist dass aus der umkehrbarkeit die injektivität folgt. Das ist quasi ein Teild er Umkehrbarkeit. Jetzt muss man halt von der Umkehrbarkeit (über die Injektivität) auf Kern T ={0} schließen, stimmts?

EDIT: Sorry, aber ist per Definition nicht T injektiv <=> Kern T = {0} ?

02.03.2015, 19:37

10001000Nick1

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Zitat:

Original von goldfisch91
Und warum muss ich genau das zeigen?

Du hast in deiner Argumentationskette drei Implikationen; und jede einzelne davon muss begründet werden. Für die ersten beiden $\begin{eqnarray*} T \text{ umkehrbar}\Rightarrow T\text{ bijektiv} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \text{ bijektiv}\Rightarrow T\text{ injektiv} \end{eqnarray*}$ habe ich das oben schon gemacht; und die dritte Implikation ist die Aussage $\begin{eqnarray*} T \text{ injektiv}\Rightarrow\operatorname{Kern} T=\{0\} \end{eqnarray*}$ , weshalb das noch zu zeigen wäre.

Zitat:

Original von goldfisch91
Sorry, aber ist per Definition nicht T injektiv <=> Kern T = {0} ?

Nein. Das folgt aus der Definition des Kerns.

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02.03.2015, 19:38

goldfisch91

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Meinst du Kern T = {0} => T ist injektiv?

02.03.2015, 19:41

10001000Nick1

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RE: Argumentation ausreichend?
verwirrt

verwirrt

Du hast doch oben geschrieben:

Zitat:

Original von Lorde0000
T ist umkehrbar => T ist bijektiv => T ist injektiv => Kern T = {0}

02.03.2015, 19:45

goldfisch91

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Zitat:

Nein. Das folgt aus der Definition des Kerns.

Was meinst du damit? Ich dachte immer, dass T ist injektiv <=> Kern T = {0} eine zu akzeptierende Tatsache ist. Warum soll man das beweisen wenn das nicht explizit gefragt ist?

02.03.2015, 19:49

Elvis

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Es gibt in der gesamten Mathematik keine zu akzeptierende Tatsache. Es gibt Definitionen, Sätze und Beweise. Jede Aussage muss bewiesen werden.

02.03.2015, 19:49

10001000Nick1

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Die Definition ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern} T:=\{v\in\mathbb{R}^n\ |\ T(v)=0\} \end{eqnarray*}$ . Ausgehend von dieser Definition kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} T\text{ injektiv}\Leftrightarrow \operatorname{Kern}T=\{0\} \end{eqnarray*}$ .

02.03.2015, 19:55

goldfisch91

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OK, zusammenfassend:

T ist umkehrbar heißt dass T bijektiv ist. Das wiederrum heißt, dass T injektiv und surjektiv ist. Im Prinzip sind das keine Folgerungen, sondern nur äquivalente Aussagen die man nicht beweisen muss. Dass T injektiv => Kern T = {0} gilt, ist nicht äquivalent, und muss deshalb bewiesen werden.
Dazu:

T injektiv heißt:

T(x) = T(y) <=> x = y

T(x) = T(y)
<=>
T(x) - T(y) = 0
<=> (da T linear ist)
T(x - y) = 0
=> da aus der Definition der Injektivität T(x) = T(y) <=> x = y gilt, muss x = y. Also gilt stets x - y = 0
Kern T = {0}

02.03.2015, 19:58

Elvis

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Das ist kein Beweis.

02.03.2015, 19:59

goldfisch91

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Warum nicht?

02.03.2015, 20:01

Elvis

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Du machst überhaupt keine Aussage über den Kern von T. Du stellst nur immer wieder die Definition der Injektivität vor und schreibst dann völlig unmotiviert die Behauptung dazu.

02.03.2015, 20:03

10001000Nick1

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Zitat:

Original von goldfisch91
Dass T injektiv => Kern T = {0} gilt, ist nicht äquivalent, und muss deshalb bewiesen werden.

Wie oben schon gesagt, ist Injektivität von T äquivalent zur Kern T={0}.
Der Grund, warum man das zeigen muss, ist, dass das keine Definition ist, sondern eben nur eine Folgerung daraus.

Dein Beweis ist etwas durcheinander, mir ist auch nicht so ganz klar, was du da zeigen wolltest.

02.03.2015, 20:05

goldfisch91

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Meinst du, dass ich am Ende noch beweisen muss, warum das der Kern ist? Ist das nicht klar?

02.03.2015, 20:07

goldfisch91

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von goldfisch91
Dass T injektiv => Kern T = {0} gilt, ist nicht äquivalent, und muss deshalb bewiesen werden.

Wie oben schon gesagt, ist Injektivität von T äquivalent zur Kern T={0}.
Der Grund, warum man das zeigen muss, ist, dass das keine Definition ist, sondern eben nur eine Folgerung daraus.

Dein Beweis ist etwas durcheinander, mir ist auch nicht so ganz klar, was du da zeigen wolltest.

Also ich habe die Definition der Injektivität genommen, habe das dann nach 0 umgestellt. Und da x und y gleich sein müssen sagt das aus, dass eine injektive Abbildung nur dann 0 sein kann, wenn T(0) gilt, da x = y <=> x - y = 0

02.03.2015, 20:14

10001000Nick1

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Zitat:

Original von goldfisch91
dass eine injektive Abbildung nur dann 0 sein kann, wenn T(0) gilt

Es gibt auch lineare Abbildungen, bei denen es außer der 0 noch andere Elemente gibt, die auf 0 abgebildet werden.

Wie Elvis schon sagte, musst du in deiner Argumentation Eigenschaften des Kerns benutzen; du willst doch die Äquivalenz $\begin{eqnarray*} T\text{ injektiv}\Leftrightarrow \operatorname{Kern}T=\{0\} \end{eqnarray*}$ zeigen.

02.03.2015, 20:20

goldfisch91

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Jetzt steh ich aufm Schlauch. Ich sehe zwar jetzt ein, dass ich Falsch lag, aber verstehe ich noch nicht wie ich das sonst lösen soll unglücklich

unglücklich

.

Das einzige was mir noch einfällt ist, dass man so zwar argumentiert, dann aber noch zeigen muss, dass 0 das einzige Element ist. Aber ich glaube nicht dass das so geht. Könnt ihr mir nen Tipp geben?

02.03.2015, 20:29

10001000Nick1

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Fangen wir mal mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern} T=\{0\}\Rightarrow T\text{ injektiv} \end{eqnarray*}$ an.
Wir setzen also voraus, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{Kern} T=\{0\} \end{eqnarray*}$ ist und wollen daraus schlussfolgern, dass dann $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Angenommen, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind zwei beliebige Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ und es gilt $\begin{eqnarray*} T(x)=T(y) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} T(x)-T(y)=0 \end{eqnarray*}$ , und wegen der Linearität $\begin{eqnarray*} T(x-y)=0 \end{eqnarray*}$ .
Kannst du jetzt begründen, warum daraus die Injektivität von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ folgt? (Beachte die Voraussetzung über den Kern)

02.03.2015, 20:32

goldfisch91

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ja, weil 0 ein Element der Kerns ist, und x - y = 0 nur gitl wenn x = y ist. und das ist die Definition der Injektivität. also T(x) = T(y) <=> x = y

02.03.2015, 20:36

10001000Nick1

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Wichtig ist die Tatsache, dass 0 das einzige Element des Kerns ist. Deswegen muss x-y=0 sein, und damit x=y.

02.03.2015, 20:37

goldfisch91

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ja, das sehe ich ein. Aber hat mein Beweis nicht genau das selbe ausgesagt, nur halt andersrum?

02.03.2015, 20:46

10001000Nick1

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Meinst du mit "andersrum" die Aussage $\begin{eqnarray*} T\text{ injektiv}\Rightarrow \operatorname{Kern}T=\{0\} \end{eqnarray*}$ ?
Einen Beweis dafür konnte ich nicht wirklich erkennen (und Elvis scheinbar auch nicht).

Diese Richtung beweist man so:
Wir setzen voraus, dass T injektiv ist.
Dass die 0 im Kern enthalten ist, ist klar (eine lineare Abbildung bildet immer 0 auf 0 ab).
Würde der Kern noch ein weiteres Element enthalten, würde ja auch dieses auf 0 abgebildet werden. D.h. wir hätten dann zwei Elemente, die auf 0 abgebildet werden. Das kann aber nicht sein, weil T injektiv ist. Der Kern kann also außer 0 kein weiteres Element enthalten.

02.03.2015, 20:51

goldfisch91

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Also in etwa so?

0 Element von Kern T und T ist injektiv => Kern T = {0}

Also wenn man das formal aufschreiben will.

02.03.2015, 20:53

10001000Nick1

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Wieso willst du noch $\begin{eqnarray*} 0\in\operatorname{Kern}T \end{eqnarray*}$ voraussetzen? Das gilt doch sowieso für alle linearen Abbildungen.

02.03.2015, 21:01

goldfisch91

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Nein ich meine, dass ich die Tatsache aufschreibe, dass 0 ein Element von Kern T ist, und das T injektiv ist. Und dass das dann der Beweis ist, dass die Folgerung stimmt. So habe ich zumindestens deine Beweisführung verstanden verwirrt

verwirrt

03.03.2015, 09:02

Elvis

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Dann hast du das eben falsch oder gar nicht verstanden. Lies es so oft , bis du es verstehst.

03.03.2015, 09:48

RavenOnJ

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Zitat:

Original von goldfisch91
OK, zusammenfassend:

T ist umkehrbar heißt dass T bijektiv ist. Das wiederrum heißt, dass T injektiv und surjektiv ist. Im Prinzip sind das keine Folgerungen, sondern nur äquivalente Aussagen die man nicht beweisen muss. Dass T injektiv => Kern T = {0} gilt, ist nicht äquivalent, und muss deshalb bewiesen werden.
Dazu:

T injektiv heißt:

T(x) = T(y) <=> x = y

T(x) = T(y)
<=>
T(x) - T(y) = 0
<=> (da T linear ist)
T(x - y) = 0
=> da aus der Definition der Injektivität T(x) = T(y) <=> x = y gilt, muss x = y. Also gilt stets x - y = 0
Kern T = {0}

Ich finde schon, dass er hier gezeigt hat, dass gilt: $\begin{align*} T\text{ injektiv }\Rightarrow \operatorname{ker} T=\{0\} \end{align*}$ . Man kann ja gemäß den aufgeführten Äquivalenzen die Bedingung der Injektivität schreiben als $\begin{align*} T(x-y)=0\Leftrightarrow x=y \end{align*}$ , also $\begin{align*} \operatorname{ker} T=\{0\} \end{align*}$ . Denn für $\begin{align*} x-y\in \operatorname{ker} T\Rightarrow x=y \end{align*}$ folgt $\begin{align*} \operatorname{ker} T=\{0\} \end{align*}$ .

03.03.2015, 12:13

goldfisch91

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Ich hab das jetzt nochmal bewiesen, undzwar zur Übung auch "von beiden Seiten". Also

a) T ist injektiv -> Kern T = {0}

und

b) Kern T = {0} -> T ist injektiv

zu a):

T(0) = 0
Sei v Element von Kern T
=> T(v) = 0
da T injektiv ist, muss v = 0 sein
=> Kern T = {0}

zu b):

Sei T(u) = T(v)
=> T(u) - T(v) = 0
<=> T(u-v) = 0
=> (u-v) Element von Kern T und da Kern T = {0} => (u-v) = 0 bzw u = v
=> T(u) = T(v) => u = v
=> T ist injektiv.

Also den Beweis von b) finde ich "schön". Bei a) bin ich mir da schon nicht mehr so sicher, da ich da "einfach" hinschreibe "da T injektiv ist". Muss ich da nicht irgendwas aus der Definition der Injektivität benutzen?

03.03.2015, 12:19

10001000Nick1

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Na, das sieht doch schon viel besser aus. Freude

Freude

Wenn du das bei a) noch genauer begründen willst, könntest du folgendes schreiben:
$\begin{eqnarray*} v\in\operatorname{Kern}T\Rightarrow T(v)=0\Rightarrow T(v)=T(0)\stackrel{\text{Injektivität von }T}{\Rightarrow} v=0 \end{eqnarray*}$
So besser? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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