Determinante berechnen 2

08.03.2015, 20:01

Rivago

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Determinante berechnen 2

Welche Lösungen besetzt die folgende Gleichung?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 0 & 2 \\ 1 & \lambda - 1 & 1 \\ -2 & 0 & 1 - \lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Ich muss ja hier auch wieder die Dreiecksmatrix kriegen. Aber wie krieg ich das am besten hin?

08.03.2015, 20:04

hdhjlööööäää

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Hast du nicht die Regel von Sarrus zur Verfügung?

Naja, wie kriegst du hier die Dreiecksmatrix?
So wie sonst auch...

Wo liegt dein konkretes Problem? Verwirrt dich das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

08.03.2015, 20:10

Rivago

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Doch, hab ich. Aber wie bringt mich das hier in dem Fall weiter?

Da hab ich ja dann $\begin{eqnarray*} (\lambda - 1) \cdot (\lambda - 1) \cdot (1 - \lambda) + 4 \cdot (\lambda - 1) \end{eqnarray*}$

08.03.2015, 20:13

Dopap

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Vertausch doch Spalte 1 mit Spalte 2 und dann noch Zeile 1 mit Zeile 2.

Dann stimmt doch Spalte 1 schon mal.

-------.

08.03.2015, 20:13

hgklöää

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Es bringt dich weiter indem es dir schnell die Determinante dieser Matrix liefert, ohne vorher irgendwelche Zeilenumformungen zu machen.

Nun musst du

$\begin{eqnarray*} (\lambda-1)(\lambda-1)(1-\lambda)+4(\lambda-1)=0 \end{eqnarray*}$

lösen.

08.03.2015, 20:21

Rivago

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Zitat:

Original von Dopap
Vertausch doch Spalte 1 mit Spalte 2 und dann noch Zeile 1 mit Zeile 2.

Dann stimmt doch Spalte 1 schon mal.

--------------- Deine Determinante ist falsch.

Wenn ich da was vertausche, muss ich ja ein Minus davor schreiben. Da ich aber 2 mal tausche, wird dann aus Minus und Minus wieder Plus?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \lambda - 1 & 1 & 1 \\ 0 & \lambda - 1 & 2 \\ 0 & -2 & 1 - \lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie kriegt man nun noch die -2 weg? verwirrt

verwirrt

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08.03.2015, 21:57

Dopap

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sorry, deine Determinante stimmt schon. Ich konnte gar nicht so schnell editieren wie du am zitieren bist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei den Eliminationen braucht man im Prinzip immer das kgv beider Terme:

$\begin{eqnarray*} L_3:= 2 \cdot L_2+(\lambda -1)\cdot L_3 \end{eqnarray*}$

08.03.2015, 22:05

Rivago

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Also muss ich Zeile 2 mit 2 multiplizieren und Zeile 3 mit (Lambda - 1) und dann Zeile 2 + Zeile 3?

Edit: Ich hab mal in der Lösung gelunzt.. da macht man es anders. Und zwar wird Spalte 3 - Spalte 1 gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \lambda - 3 & 0 & 2 \\ 0 & \lambda - 1 & 1 \\ \lambda - 3 & 0 & 1 - \lambda \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Und im nächsten Schritt dann Zeile 1 mal (-1) und zur dritten Zeile dazu addieren. Soweit versteh ichs schon, aber mir ist nicht klar, wie man zum Beispiel auf das Element a11 kommen soll.

Es wird doch gerechnet $\begin{eqnarray*} 2 - (\lambda - 1) \end{eqnarray*}$

Bei mir ergibt das $\begin{eqnarray*} 3 - \lambda \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \lambda - 3 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

08.03.2015, 22:19

Dopap

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die Zeilenoperation (Line) hat eine klare Syntax, da gibt es nix nachzufragen.

-----------------------

Ansonsten springst du hin und her... Lös' doch erst mal die Aufgabe so wie du es kannst.

Und dann kann man weitersehen. Es gibt unzähliche Wege.

08.03.2015, 22:30

Rivago

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So?

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \lambda - 1& 1 & 1 \\ 0 & \lambda - 1 & 2 \\ 0 & 0 & \lambda^2 + 2\lambda + 3 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

08.03.2015, 23:14

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \lambda - 1& 1 & 1 \\ 0 & \lambda - 1 & 2 \\ 0 & 0 & {\color{red}-}\lambda^2 + 2\lambda + 3 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

und letzteres kann man faktorisieren.

08.03.2015, 23:28

Rivago

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Wie kann man das faktorisieren?

Ich hab es jetzt durch die pq-Formel gemacht und erhalte als Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = 3 \end{eqnarray*}$

Außerdem steht da ja $\begin{eqnarray*} 0 = (\lambda - 1) \cdot (\lambda -1) \cdot (-\lambda^2 + 2\lambda + 3) \end{eqnarray*}$

Und man kriegt aus dem Satz vom Nullprodukt somit noch als Lösung $\begin{eqnarray*} \lambda_3 = 1 \end{eqnarray*}$

smile

smile

08.03.2015, 23:47

Dopap

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nach Anwendung der pq-Formel kann man noch faktorisieren.
Satz von Vieta.

Somit hat unser Weg stringend zur Lösung geführt. Wink

Wink

08.03.2015, 23:49

Rivago

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Okay

smile

Können wir noch kurz den anderen Lösungsweg durchsprechen, so wie er in der Musterlösung steht? Wie kommt man da auf $\begin{eqnarray*} \lambda - 3 \end{eqnarray*}$ ??

09.03.2015, 15:57

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago

Edit: Ich hab mal in der Lösung gelunzt.. da macht man es anders. Und zwar wird Spalte 3 - Spalte 1 gerechnet:

und welche Spalte entsteht dann ??

S3:=S3-S1 oder S1:=S3-S1 ? -bemühe immer die eindeutige Notation.

09.03.2015, 17:26

Rivago

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Sorry

Augenzwinkern

S1 := S3 - S1

10.03.2015, 19:03

Rivago

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Push

Wink

10.03.2015, 19:29

Dopap

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offenbar wurde S1:=S1-S3 gerechnet.

10.03.2015, 19:38

Rivago

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Stimmt, das macht mehr Sinn. Dann ist es in der Musterlösung ein wenig "blöd" dargestellt ^^

Gut, danke. Dann können wir das Thema abschließen smile

smile

Wink

10.03.2015, 19:47

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
[...] Dann ist es in der Musterlösung ein wenig "blöd" dargestellt ^^

Das ist der Grund weshalb ich ( nicht nur bei dir ) auf eindeutiger Notation bestehe.

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