Lineare Abbildung durch den Kern bestimmen.

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung durch den Kern bestimmen.
Man soll eine lineare Abbildung T = R^3 -> R^3, deren Kern durch die Vektoren (1,0,0)^T und (0,0,1)^T erzeugt wird, bestimmen.

Ich weiß nicht wirklich wie das funktionieren soll.

Erst einmal ist festzuhalten, dass der Kern anscheinend so aussieht: v = a1(1,0,0)^T + a3(0,0,1), wobei v ein Element des Kerns ist. Also kann man sagen dass es folgende Beziehung gibt:

T((a1,0,a3)^T) = (0,0,0)^T

Weter komme ich jetzt nicht mehr unglücklich
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du den Dimensionssatz? D.h. für alle linearen Abb. mit ?
 
 
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber den darf ich nicht benutzen, weil der nicht Teil meiner Vorlesung ist.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut, die Aussage erhälst du dann aber für diesen Spezialfall.

Welche Vektoren können mit deinen Voraussetzungen denn überhaupt noch einen Beitrag zu liefern?
leoclid Auf diesen Beitrag antworten »

Eine lineare Abbildung wird durch eine Abbildungsmatrix bestimmt, in diesem Falle durch eine 3 mal 3 Abbildungsmatrix.

Überlege dir, wie die Einträge dieser Matrix lauten müssen, damit Ein Element des Kerns auf auf den Nullvektor abgebildet wird, und ein Element das nicht zum Kern gehört auf einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich mir den Kern ansehe, dann heißt das ja, dass wenn a2 = 0 ist, daraus dann der Nullvektor erzeugt wird.

Also mehr weiß ich jetzt auch nicht. Man könnte jetzt die Abbildung so schreiben:

T(x) = Ax, also mit einer Matrix A. Aber wie man das bildet weiß ich jetzt auch nicht
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du weißt, dass nur für alle . Jetzt kannst du beliebig viele mögliche angeben, indem du dir irgendwas überlegst, wohin geht.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhhh, wenn ich jetzt folgendes nehme:

T(a1,0,a3) = A(a1,0,a3) = (0,0,0)

Kann man daraus nicht dann die Elemente der Matrix bestimmen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was bringt dir das denn? Da fehlt dir immer noch die mittlere Spalte.

Sieh dir meinen letzten Beitrag an, da steht wirklich alles.
Du hast die Standardbasis, zwei der Basisvektoren liegen im Kern (mit dem Satz den du nicht nutzen darfst folgt schon, dass das Bild Dimension 1 hat). Der letzte kann jetzt gewählt werden, wie man will, also beliebig.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Nein, du weißt, dass nur für alle . Jetzt kannst du beliebig viele mögliche angeben, indem du dir irgendwas überlegst, wohin geht.


ich versteh das nicht. Vorallem den letzten Satz nicht. Ich überleg schon die ganze Zeit unglücklich
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Den Kern kennst du, da liegen alle Linearkombinationen von und drin. Nicht mehr und nicht weniger.

lässt sich nicht als Linearkombination von und darstellen, aber ist eine Basis des .

Eine Lineare Abbildung ist eindeutig dadurch bestimmt, dass man die Bilder der Basisvektoren angibt.
Die Bilder von und kennst du, denn sie liegen im Kern.
Für kannst du dir was überlegen, denn der darf überall hin abgebildet, nur nicht auf Null.

Ich gebe mal zwei Möglichkeiten an: und .
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für die Matrix A = (T(e1) T(e2) T(e3)) meinst du ne?

Kann man sich jetzt wirklich einfach ein e2 (also die kanonischen basisvektoren) nehmen?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit der Matrix?

Wie nehmen?
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

haha tut mir leid. ich dachte dass du meinst, dass man die beiden Vektoren die den Kern benutzen nimmt um die Abbildung in Matrixform zu schreiben. Also T(x) = Ax. Aber dann habe ich dich wohl falsch verstanden. Ich verstehe was du damit sagen willst. Aber ich sehe die Konsequenz nicht. Ich habe jetzt das Bild und den Kern. Wie bestimme ich daraus jetzt die Abbildung?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt für die denn die Abbildung bestimmen?

Die steht dann schon da, wenn du in diesem Fall das Bild kennst, kennst du die Abbildung. Die ist nämlich mit dem Basisvektor : und das hängt nur davon ab, was du für ein wählst.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kombiniert man jetzt die Basisvektoren und hat dann die Abbildung T(x) = lamda * v ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, was ist und was heißt kombinieren?
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die lineare Abbildung so?

f( (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1) ) = lamda * v ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt, ist aber keine Abbildung, sondern nur eine Identität, die alle diese Abbildungen erfüllen.

Das ganze ist doch für dich auch uninteressant, du brauchst doch nur eine.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid. ich kapier gar nichts mehr. vielleicht sollte ich später nochmal drauf gucken. ist mir grad zu hoch
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