Beweis für nichttriviale Lösungen

10.03.2015, 15:01	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für nichttriviale Lösungen Wie kann man beweisen, dass die Gleichung Ax = ax nicht triviale Lösungen hat, falls det(A-aE) =0 ist. Ich hab mir gedacht, dass ich erst Ax = ax in det(A-aE) = 0 umformt. Mein Tutor hat mir jetzt gesagt, dass das nicht ausreicht. Was muss ich noch beweisen? Bzw wie?
10.03.2015, 15:25	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für nichttriviale Lösungen Die Gleichung $\begin{eqnarray} A \mathfrak{x} = a \mathfrak{x} \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} (A-aE)\mathfrak{x} = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ . Das ist ein homogenes lineares Gleichungssystem. Die Lösungen eines homogenen lin. Gleichungssystems bilden aber einen Vektorraum, was sich leicht zeigen lässt. Die Dimension d dieses Lösungsvektorraums ist d=n-r, wobei n die Anzahl der Spalten der Koeffizientenmatrix und r ihr Rang ist. Das musst du jetzt auf deinen Fall anwenden.
10.03.2015, 16:06	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider ist Rang und der Dimensionssatz nicht Teil meiner Vorlesung. Kann es auch einen anderen Weg geben das zu beweisen?
10.03.2015, 16:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für nichttriviale Lösungen Gäbe es nur eine Lösung (also x=0), dann wäre die Matrix A-aE invertierbar. Das ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} det(A-aE) \neq 0 \end{eqnarray}$ .
10.03.2015, 20:06	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
danke

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