Beweis Kreuzprodukt, lineare Abhängigkeit

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Mäthes Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Kreuzprodukt, lineare Abhängigkeit
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich soll folgende Aussage beweisen und komme da auch nach 2 Stunden intensivem Überlegen auf keinen gescheiten Ansatz...
Seien . Dann gilt:
genau dann wenn linear abhängig


Meine Ideen:
wie schon gesagt irgendwie fehlt mir ein geeigneter Ansatz ...
leoclid Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Richtung


Linear Abhängig ->>> Kreuzprodukt 0


versuche mal das Kreuzprodukt einfach allgemein auszurechnen!!!
Mäthes Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ja dann so aussehen, oder?

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Nullvektor ist, dann sind linear abhängig. Man darf daher annehmen, daß eine der Koordinaten von von verschieden ist, ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei .

Sieh deine Gleichung koordinatenweise an. Dann bekommst du drei Gleichungen. Die erste lautet:



Oder umgeformt:



Mit der Abkürzung bedeutet das:



Jetzt mußt du nur noch nachweisen. Wie folgt das schließlich?
Mäthes Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay Freude

für x1 bekomme ich dann . Damit habe ich ja dann die lineare Abhängigkeit schon gezeigt...

Jetzt müsste ich ja eigentlich noch die andere Richtung zeigen, also zeigen, dass wenn x und y linear abhängig ist deren Kreuzprodukt = 0 ist, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mäthes
für x1 bekomme ich dann .


Du solltest noch darauf verweisen, wo du was herholst. Sonst ist deine Argumentation nicht glaubhaft.

Zitat:
Original von Mäthes
Jetzt müsste ich ja eigentlich noch die andere Richtung zeigen, also zeigen, dass wenn x und y linear abhängig ist deren Kreuzprodukt = 0 ist, oder?


Die Rückrichtung ist viel einfacher. Bei linearer Abhängigkeit ist einer der beiden Vektoren ja ein skalares Vielfaches des andern, etwa . Jetzt dieses in das Kreuzprodukt einsetzen.
 
 
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