Extremwertaufgaben |
| 10.03.2015, 16:40 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertaufgaben Ich hab bei mehreren Extremwertaufgaben Probleme. Meistens denke ich sind es nur dumme fehler, da ich es normalerweise schaffe die richtige Zielfunktion zu finden. 1) Flache A von einem rechteck der zwischen der Geraden x=4 und y=2 und f(x)=1/x liegt, soll maximal werden. 2) Gegeben sind f(x)=-x^2+6x-5 und die Gerade x=g (1<g<5) g schneidet f(x) im Punkt P und die X-Achse im Punkt Q. P und Q bilden mit R(1/0) ein rechtwinkliges Dreieck. Für welches g hat das Dreieck einen maximalen Flächeninhalt? 3)Gegeben sind y=(1/4)x^2 und B(3/0). Was ist der geringste abstand zwischen diese? Meine Ideen: 1) 1. A=u*v 2. f(4-u)=1/4-u=2-v wobei u die distanz von x=4 und f(x) und v die distanz von y=2 und f(x) ist. A=u(2-(1/4u))=> A'(u)=2+1/3u^-2 => A'(u)=0 und hier komme ich nicht mehr fort 2) Ich hab ne Skizze gemacht und folgende Seiten genannt: a: Distanz zwischen Q und R; b: Distanz zwischen P und Q; c: Distanz zwischen Q und R. 1. A=1/2*a*(c^2-a^2)^1/2 2. (c^2-a^2)=-(a+1)^2+6(a+1)-5 Nach dem Einsetzen, ableiten und nullstellen ist mir rausgekommen a1=0 a2=-8 was falsch ist 3) 1. d=((3-x)^2+(-y)^2)^1/2 2.y=1/4x^2 ich hab die Zielfunktion quadriert und abgeleitet d^2'(x)= -6+2x+1/4x^3 wie kann ich jetzt die Extremstellen dieser Funktion finden? Danke Schön! |
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| 10.03.2015, 17:04 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Extremwertaufgaben Gymnasium
Der Ansatz könnte in die Irre gehen, wenn u und v nicht klar definiert werden. Am besten bestimmst du erstmal die Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks. Auch bei Aufgabe 2 brauchst du erstmal die Koordinaten der Punkte P und Q. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, sind nur die Längen der Katheten interessant. Bei Aufgabe 3 kannst du eine Nullstelle erraten. 
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| 10.03.2015, 17:24 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertaufgaben Gymnasium leider kann ich die skizze nicht zeigen... 1) A(4-u/2) B(4/2-v) P(4/2) Q(4-u/2-v) 2) P(a+1/(c^2-a^2)^1/2) Q(a+1/0) |
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| 10.03.2015, 17:29 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
bei 3) ist die ns (0/0) |
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| 10.03.2015, 19:44 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Extremwertaufgaben Gymnasium Ich hab skizzen auf imgur aufgeladen wenn mir jemand die erlaubnis gibt poste ich sie |
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| 11.03.2015, 08:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das geht auch ohne Skizze. Prinzipiell stimmen die Koordinaten. Da der Punkt Q auf dem Funktionsgraphen liegt, kannst du dessen y-Koordinate aus der x-Koordinate berechnen. Diese y-Koordinate hat dann auch der Punkt B. Dann brauchst du noch die Längen der Rechteckseiten und kannst dann die Flächenformel aufstellen.
Wenn ich das richtig sehe, liegt doch der Punkt P auf dem Funktionsgraphen. Mit Hilfe der Funktion f(x) läßt sich also die y-Koordinate etwas angenehmer ausdrücken.
Wie man leicht sieht, ist 0 keine Nullstelle von -6+2x+1/4x^3 . 
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| 11.03.2015, 15:49 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstens vielen Dank für die Antwort! 3) Entschuldigung, ich dachte du meintest diese funktion: y=(1/4)x^2 Ne ich komme nicht darauf... ins taschenrechner kann ich es auch nicht einsetzen, da es nicht deise formel hat: ax^3+bx^3+cx+d , oder? Ich komme nicht weiter als 6=x(2+1/4x^2) 2) Ich glaub ich hab die Frage falsch verstanden, aber die y-Koordinate lässt sich doch auch so ausdrücken: f(a)=x^2+6x-5. Das wäre meine Idee, ist die Zielfunktion richtig? Nebenbedingung 1. A=1/2*a*(c^2-a^2)^1/2 Nebenbedingung 2. (c^2-a^2)=-(a+1)^2+6(a+1)-5 Zielfunktion: A(a)=1/2*a*(-(a+1)^2+6(a+1)-5)^1/2 1) Ich glaub ich verstehe wieder nicht die Frage aber ich versuche es: Yq=1/Xq Was meinst du von meiner Zielfunktion in diesem Fall? Nebenbedingung 1. A=u*v Nebenbedingung 2. f(4-u)=1/4-u=2-v Zielfunktion: v=2-1/(4-u) |
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| 11.03.2015, 16:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zielfunktion ist die die Fläche des Rechtecks, also im Prinzip "Länge mal Breite". Für Länge und Breite brauchen wir die Koordinaten der Eckpunkte. wegen haben wir also: A(4-u/2) B(4/ 1/(4-u)) P(4/2) Q(4-u/ 1/(4-u)) Damit haben wir: Länge des Rechtecks = 4 - (4-u) = u Breite des Rechtecks = 2 - 1/(4-u)
Alles auf eine Seite und mit 4 multiplizieren: x³ + 8x - 24 = 0 Jetzt probiere alle ganzzahligen Teiler von 24. |
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| 11.03.2015, 17:34 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Entschuldigung mein Fehler! was ich als Zielfunktion geschrieben hab ist einfach eine vereinfachung der 2. Nebenbedingung. So lautet die Zielfunktion naturlich: . Man muss diese Funktion ableiten, nullstellen und dann u hier: 2 - 1/(4-u)=v einsetzen, richtig? weil das ist was ich gemacht habe und ich habe folgendes Problem: A(u)=u(2-1/(4-u)) A(u)=2u-u/(4-u) A'(u)=2-(1*(4-u)-u(0-1))/(4-u)^2 A'(u)=2-(4/(16-8u+u^2) 0=A'(u) 0=2-(4/(16-8u+u^2) jetzt bin ich verloren... ich weiss in der termumformung bin ich schwach
Die Antwort ist 2, ich wäre alleine aber nie da drauf gekommen, gibts keinen einfacheren Weg? Jetzt, wenn der geringste Abstand 2 ist, kann man auch den punkt oder die punkte finden, die auf y=(1/4)x^2 liegen, bei denen es diesen Abstand gibt? Wenn ja reicht der satz des Pythagoras? 2^2=(3-x)^2+(1/4 x^2)^2 Zitatebenen korrigiert. Steffen |
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| 12.03.2015, 08:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun ja, so schwer ist das nicht. Was stört? Der Nenner. Wie könnte man den wegbekommen? Erster Ansatz: einfach mal die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren.
Wem es Spaß macht: die Cardano-Formeln.
Vorsicht! Mit der Variablen x war nicht der Abstand bezeichnet worden. Schau nochmal genau nach, was du mit x bezeichnet hattest. |
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| 12.03.2015, 15:36 | marco barilla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig! d=((3-2)^2+(-1/4*2^2)^2)^1/2=1.414 u=4, dann einsetzten und v=2-1/0 ... was habe ich jetzt falsch gemacht? Oder ist v=2? |
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