Dimension bei trigonometrischen Funktionen

10.03.2015, 20:08	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension bei trigonometrischen Funktionen S = span{1, sinx, cosx} Mein Kommilitone meinte, dass die Dimension von S 3 ist. Ich überlege gerade ob sich sinx bzw cosx sich nicht jeweils aus der anderen Funktion bilden lässt, dass somit die Dimension 2 ist. Was meint ihr?
10.03.2015, 20:47	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollten $\begin{eqnarray} \sin \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos \end{eqnarray}$ linear abhängig sein, so muss für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit geeigneten $\begin{eqnarray} \lambda,\mu \end{eqnarray}$ gelten: $\begin{eqnarray} \lambda\cdot\sin x+\mu\cdot\cos x =0 \end{eqnarray}$ . Was siehst du daran?
10.03.2015, 21:03	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich kann jetzt kein Beispiel nennen, aber ich kann doch sicherleich ein Skalar finden, dass nicht 0 ist und trotzdem die Gleichung erfüllt, oder?
10.03.2015, 21:11	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Stellen $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ .
10.03.2015, 21:43	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sin x wäre für x = 0 dann 0, und x = pi /2 ist bei cos x dann 0.
10.03.2015, 21:52	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit hast du schon eine Aussage.
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10.03.2015, 21:55	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
ALso kann man beide trigonometrischen Funktionen jeweils durch die andere darstellen. Das heißt also dass die Menge linear abhängig ist. Wenn man eine der beiden Funktionen entfernt, erhält man eine linear unabhängige Menge. Somit ist die Dimension dann 2, stimmts?
10.03.2015, 21:59	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, nein, nein! Rechne doch mal, du musst nur machen was ich geschrieben hab: Es müsste $\begin{eqnarray} \lambda,\mu \end{eqnarray}$ geben, sodass für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \lambda\cdot\sin x+\mu\cdot\cos x =0 \end{eqnarray}$ ; insb. für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Mit einsetzen von $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \mu=0 \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ einsetzen folgt $\begin{eqnarray} \lambda=0 \end{eqnarray}$ . Das heißt gerade, dass die Funktionen linear unabhängig sind!
11.03.2015, 10:36	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke.

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