Produkt von n i.i.d.-Zufallsvariablen hoch 1/n

11.03.2015, 18:02	roblocks	Auf diesen Beitrag antworten »
Produkt von n i.i.d.-Zufallsvariablen hoch 1/n Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ i.i.d. mit $\begin{eqnarray} P(X_i =1)=1-p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_i =2)=p \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p\in (0,1) \end{eqnarray}$ Beschreibe für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ das symptotische verhalten von $\begin{eqnarray} Z_n:=n\frac{(X_1X_2...X_n)^{(1/n)}}{((X_1^2 +X_2^2 +...+X_n^2 ))} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Idee: das n in den nenner ziehen => $\begin{eqnarray} Z_n:=\frac{(X_1X_2...X_n)^{(1/n)}}{(1/n * (X_1^2 +X_2^2 +...+X_n^2 ))} \end{eqnarray}$ jetzt sollte der Nenner mit SLLN gegen $\begin{eqnarray} E(X_i^2) \end{eqnarray}$ konvergieren. $\begin{eqnarray} E(X_i^2) =1^2(1-p)+2^2p=1+3p \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Der Zähler bereitet mir Probleme. meine erste und einzige Idee ist zu sagen, da die X iid sind, und ich n davon multipliziere und dann die nte wurzel ziehe, kann auch auch gleich nur X hinschreiben. Aber glaube nicht dass das zulässig ist $\begin{eqnarray} Z_n:=\frac{(X_1X_2...X_n)^{(1/n)}}{(1/n * (X_1^2 +X_2^2 +...+X_n^2 ))}=\frac{X_i}{(1+3p))}=\frac{1+p}{(1+3p))} \end{eqnarray*}$ im letzten schritt habe ich statt X, E(X) geschrieben... mhhh ich bin sehr skeptisch, allerdings hab ich echt keine Ahnung wie das Produkt da sonst funktionieren könnte.
11.03.2015, 18:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das ganze erstmal "gefälliger" darstellen: Die $\begin{align} X_i \end{align}$ kann man mit unabhängigen bernoulliverteilten $\begin{align} Y_i\sim B(1,p) \end{align}$ via $\begin{align} X_i = 2^{Y_i}=1+Y_i \end{align}$ darstellen, dann ist mit $\begin{align} S_n:=\sum_{i=1}^n Y_i \end{align}$ $\begin{align} X_1\cdot \ldots \cdot X_n = 2^{S_n} \end{align}$ sowie $\begin{align} X_1^2+\ldots+X_n^2 = \sum_{i=1}^n (1+2Y_i+Y_i^2) = n+3S_n \end{align}$ , d.h. es ist einfach $\begin{align} Z_n = \frac{2^{\frac{S_n}{n}}}{1+3\frac{S_n}{n}} \end{align}$ mit einer binomialverteilten Zufallsgröße $\begin{align} S_n\sim B(n,p) \end{align}$ . EDIT: Interesse verloren? Seltsam.

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