Wendepunkte bei Unterräumen

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »
Wendepunkte bei Unterräumen
Ich hab mir grad selbst eine Aufgabe gestellt. Undzwar möchte ich zeigen, dass alle Polynome die bei 1 ein Wendepunkt haben, ein Unterraum von Pn sind. Jetzt bin ich bei der Abgeschlossenheit auf skalarer Multiplikation, und stelle fest:

f'''(1) =/= 0

(k*f)'''(1) =/= k*f '''(1) =/= k * 0

das kann nicht stimmen, da k = 0 sein kann, und somit die Gleichung nicht mehr ungleich 0 sein kann. Habe ich da was falsch verstanden? Mein Tutor meinte, dass das falsch ist, da die Menge der Polynome die einen Wendepunkt haben, aufjedenfall ein Unterraum von allen Polynomen Pn ist. Was meint ihr?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Die Nullfunktion hat bei 1 keinen Wendepunkt.

Wofür steht =/= ?
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ungleich. ist das eine nullfunktion?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Benutze doch das übliche Zeichen:


Zitat:
ist das eine nullfunktion?

Ist was eine Nullfunktion?
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ich kann den bezug zum unterraum nicht sehen. was meinst du?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich kann den bezug zum unterraum nicht sehen

Jeder Unterraum muss die Null des Vektorraums enthalten.
Das ist hier die Nullfunktion/polynom.
 
 
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch ungleich 0. außerdem nur in der dritten ableitung
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber das ist doch ungleich 0

Was ist dieses "das"? Man "das" , die Nullfunktion, aus dem letzten Post kann es nicht sein.
Bitte schreib dopch mal etwas ausführlichere Sätze ohne Relativpronome, die sich auf nichts erkennbares beziehen.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »


Wobei Pn der Raum aller Polynome vom Gerade <= n ist.

Ich will jetzt zeigen, dass U ein Unterraum von Pn ist.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und wie bereits mehrfach gesagt:
Das ist kein Unterraum,
es enthält nicht die Null das Raums aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n.
Und wenn einem dann immer noch langweilig ist: Die Menge ist auch nicht additiv abgeschlossen.
Bzgl. Skalarmultiplikation ist sie abgeschlossen.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist die Menge aller Polynome mit einem Wendepunkt kein Unterraum aller Polynome vom Gerade <= n? Außerdem: Kannst du mir zeigen warum mein Beweis nicht richtig ist? Ich hab versucht zu zeigen, dass die Unterraum nicht abgeschlossen auf skalarer Multiplikation ist.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
es enthält nicht die Null das Raums aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich n.


Dafür sollte goldfisch einmal die Aufgabe ganz genau formulieren. Schließlich ist lediglich hinreichend für den Wendepunkt. Und dann sollte auch noch die Definition eines Wendepunkts herangezogen werden.

Sei ein Intervall und stetig. Dann hat in einen Wendepunkt wenn es gibt, sodass auf konkav und auf konvex ist (bzw. zuerst konvex und dann konkav)

Damit ist die Nullfunktion nämlich enthalten. Wird eine andere Definition für den Wendepunkt verwendet, dann muss das natürlich noch geklärt werden.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

@Iorek: Ich verwende die Definition wie in der englischen Wikipedia.

Zitat:
Dafür sollte goldfisch einmal die Aufgabe ganz genau formulieren.

Hat goldfisch doch mittlerweile:
Zitat:
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In der englischen Wikipedia ist ein Wendepunkt auch als ein Punkt definiert, an dem ein Wechsel konvex <-> konkav stattfindet. Demnach hat die Nullfunktion also in jedem beliebigen einen Wendepunkt.

Und die Angabe der Menge sagt eben nicht das aus, was oben als Text steht, dies beschreibt nicht die Menge aller Polynome, die bei einen Wendepunkt haben. Darum der Hinweis an goldfisch sich genau auszudrücken. Augenzwinkern
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
A differentiable function has an inflection point at (x, f(x)) if and only if its first derivative, f&#8242;, has an isolated extremum at x. (This is not the same as saying that f has an extremum).


unter equivalent forms
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dem würde ich dann zumindest was meine Definition von oben betrifft widersprechen; wenn man strikt konvex/konkav in den jeweiligen Intervallen fordert, sollte die Formulierung mittels Extrema zutreffen. Auch hier liegt es dann an goldfisch, die verwendete Definition anzugeben.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also von dieser konvex Sache habe ich keine Ahnung. Gibt es irgendeine simple Definition die man benutzen kann ohne dieses Ungleich, damit man die Aufgabe leicht lösen kann?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne anständige Definition hast du keine Aufgabe.
Der erste Schritt beim Bearbeiten einer Aufgabe ist es immer sich über allen unklaren Begrifflichkeiten zu informieren.

Die "Aufgabe" ist sowohl mit Iorek's als auch mit meiner Defintion einfach zu "lösen". Und an sich sind auch beide Definitionen nicht schwierig.
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