Matrizengleichung: Lösung wenn det einer Matrize = 0

12.03.2015, 09:31	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizengleichung: Lösung wenn det einer Matrize = 0 Hallo Forum. Als Bedingung für die Invertierbarkeit einer Matrix gilt ja, dass sie symmetrisch und regulär sein muss. Demnach darf ihre Determinante ungleich 0 sein. Nun haben wir folgende Aufgabe bekomme: Matrizengleichen: $\begin{eqnarray} BX + \lambda EX - C = 0 \end{eqnarray}$ Für welche Werte von Lambda hat die Gleichung keine Gültigkeit, wenn gilt: $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} <br /> <br /> C = \begin{pmatrix} 12 & 3 \\ 12 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Komme da auf: $\begin{eqnarray} \lambda_1 = 1<br /> \lambda_2 = -3 \end{eqnarray}$ nun soll in der letzten Teilaufgabe für $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ diese Gleichung nach X gelöst werden. Als Lösung wird folgendes angegeben: $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix} 6-v & \frac{3}{2} -t \\ v & t \end{pmatrix}<br /> <br /> v;t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Habe probiert die Inverse über den Gaussalgorithmus zu bilden, doch das funktioniert logischerweise nicht wirklich. 2 2 \| 1 0 \| *(-1) 2 2 \| 0 1 2 2 \| 1 0 0 0 \| -1 1 könnte mir jemand aufzeigen, wie man darüber zu dem oben genannten Ergebnis kommt? Vielen Dank!
12.03.2015, 10:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Bedingung für die Invertierbarkeit ist falsch. Ich sehe auch nicht, was sie mit dieser Aufgabe zu tun hat. Die Ausnahmewerte stimmen, für alle anderen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist das LGS für $\begin{eqnarray} X=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar. Für $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ musst Du nur das LGS lösen, das Du schon für die Berechnung von 1 und -3 angesetzt hast. Das ist sehr einfach.
12.03.2015, 12:07	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwecks Invertierbarkeit habe ich mich verschrieben, sollte quadratisch und regulär. Ich habe für die Berechnung von 1 und -3 die pq - Formel genutzt. Siehe: $\begin{eqnarray} X = (B + \lambda E)^{-1} \cdot C<br /> <br /> (B + \lambda E) = \begin{pmatrix} 1+\lambda & 2 \\ 2 & 1+\lambda \end{pmatrix} <br /> <br /> det(B + \lambda E) = (1 + \lambda )(1 + \lambda ) - (2 \cdot 2) = 0<br /> <br /> \lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0<br /> <br /> \lambda_{1/2} = -1 \pm 2 \end{eqnarray}$ Stehe also gerade auf dem Schlauch, welches LGS ich dort für lambda = 1 lösen soll. Würde ja gerne $\begin{eqnarray} X = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 12 & 3\\ 12 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in ein LGS umschreiben, jedoch weiß ich nicht wie das mit der Inversen, die sich ja in diesem Fall nicht bilden lässt, möglich sein soll. Blick da ehrlich gesagt nicht durch.
12.03.2015, 12:32	toptoptop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab's hinbekommen. Tjaja, wenn man den Wald vor lauter Bäumen nicht sieht. Danke für die Hilfe

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