Anzahl von Gitterpunkten in einem Vieleck |
| 12.03.2015, 11:17 | mr.cat | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anzahl von Gitterpunkten in einem Vieleck ich stehe vor einem mathematischen Problem und komme seit paar Tagen nicht weiter. Es geht darum die Anzahl von Gitterpunkten in einem Vieleck zu berechnen bei variablem Abstand der Gitterpunkte zueinander. Was ich brauche ist eine realistische Schätzung, kein genauer Wert. Ich habe erstmal durch Ausprobieren mit Excel eine Formel entwickelt um sich der Anzahl der Gitterpunkten in einem Quadrat anzunähern: Sei x der Flächeninhalt in einem Quadrat und y der Abstand der Gitterpunkte zueinander: (kurze Frage zwischendurch: Gibt es eine (andere) Formel für das Problem?) Jetzt möchte ich kein Quadrat sondern ein Vieleck annähern, mir ist bewusst dass mit der Anzahl der Ecken die Annäherung komplizierter wird. Genauer geht es um die Fläche Deutschlands, die wir wissen knapp 357000 km² groß ist. Wenn Deutschland quadratisch wäre und ich einen Abstand von 7 km pro Gitterpunkt zu anderen Gitterpunkte voraussetze, kriege ich mit der Formel oben knapp 7457 Gitterpunkte raus. Ich habe dann den Satz von Pick entdeckt. Meine letzte Überlegung war, dass ich die Deutschland Karte händisch auf ein großes Blatt A3 mit Kästchen übertrage und dort die Eckpunkte der Deutschland Karte(durch abpausen) versuche auf ganzzahlige Koordinaten zu übertragen um dann somit mithilfe der bereits bekannten Fläche die Anzahl der Gitterpunkte zu berechnen. 
Allerdings hilft mir das nicht weiter, da ich ein Modell brauche womit ich die Anzahl von Gitterpunkten bei 7 km Abstand zueinander berechnen kann. 
Wie kann ich mich am besten einer Antwort auf mein Problem nähern? Vielen Dank für das Lesen |
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| 12.03.2015, 11:40 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, ich bin mir nicht sicher, ob das ein Lösungsansatz sein könnte, aber ein Polygon ist doch eine (endliche) Vereinigung bzw. Überlappung disjunkter Dreiecke (auch Triangulierung eines Polygons genannt). In dem Wikipedia-Artikel zum Satz von Pick wird erklärt, dass der Satz von Pick additiv ist, das heißt also, wenn ich das beliebige Polygon triangularisiere (also in eine beliebige endliche disjunkte Überlappung von Dreiecken mit ganzzahligen Punkten zerlege), dann addieren sich die Flächen der einzelnen Dreiecke zu der Fläche des Polygons. Prinzipiell stehen einige hilfreiche Aussagen in der Rubrik "Beweisidee". Vielleicht hast du bereits einige interessante "Rechenformeln" in Bezug auf einfache geometrische Objekte (wie z.B. Dreiecke oder Rechtecke) kennengelernt?? Ich hoffe, dass das ein vernünftiger Ansatz ist. Aber vielleicht kann dir auch ein anderes Forummitglied behilflich sein. Viele Grüße Widderchen |
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| 12.03.2015, 12:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß ja nicht, wie genau die Schätzung sein soll. In erster Näherung, wenn die Ausmaße des Polygons mit Fläche hinreichend groß sind im Vergleich zur Gitterweite , dann kann man ja einfach nehmen, der Fehler dürfte in der Größenordnung liegen. Für bessere Näherungen braucht man Zusatzvoraussetzungen, wie etwas beim Satz von Pick das mit der Ganzzahligkeit der Eckpunktkoordinaten: Nehmen wir nämlich mal das aus dem Satz von Pick, bzw. umgestellt . Verkleinert man nun das Gebiet gleichmäßig entlang des Umfangs um ein , dann bleibt die Anzahl der inneren Punkte bei . Vergrößert man aber das Gebiet gleichmäßig entlang des Umfangs um , dann "springt" die Anzahl der inneren Punkte auf , obwohl sich die Fläche nur infinitesimal geändert hat. 
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