Trigonometrische Gleichungen |
12.03.2015, 14:46 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Trigonometrische Gleichungen Hallo, ich war die letzten vier Mathestunden in der Schule nicht da und wir haben die trigonometrischen Gleichungen durchgenommen. Jetzt hab ich ein Arbeitsblatt mit verschiedenen Aufgaben. Die erste Aufgabe lautet "Gib alle Lösungen der Gleichung an: 5sin(x)=3, die zweite 2/3-4/5 cos(x)= 0" Dann gibt es weiter unten weitere Aufgaben wie "sin(3x-2)=0,6 ; sin(x)=2cos(x); sin²(x)-3sin(x)+1=0; 3sin(x)-4cos(x)=5; sin(x)-4tan(x)=0 Meine Ideen: Bei der Aufgabe 1, also 5sin(x)=3, hätte ich jetzt einfach durch 5 gerechnet, womit dann dort sin(x)= 5/3 stehen würde. Bei der zweiten wäre ich ähnlich vorgegangen, indem ich eben durch (2/3-4/5) geteilt hätte. Aber ich weiß weder, ob das richtig ist, noch ob man dann irgendwie weiterrechnen muss. Bei Aufgabe "sin(3x-2)=0,6 hätte ich eben +2 und dann durch 3 gerechnet. Aber bei den anderen Aufgaben bin ich vollkommen überfragt. Ich weiß, dass man bei einigen, die null ergeben die ABC-Formel verwenden kann und dass sin²(x)=1-cos²(x) ist; cos²(x)=1-sin²(x) ist und sin²(x)+cos²(x)=1 ist. Aber weiter komm ich wirklich nicht. Ich bin vollkommen überfragt. Dann gibt es noch irgendwas mit "sub: cos(x)=v" wobei ich nicht weiß, was mir das bringen soll. Ich bitte demnach dringend um Hilfe. |
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12.03.2015, 15:33 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Trigonometrische Gleichungen lösen? Willkommen im Matheboard! Wir fangen mal langsam an, und beschränken uns auf die allererste Aufgabe. Das ist eine gute Basis für die weiteren.
Sagen wir besser , ok? Nun schauen wir mal die Sinuskurve an, wo die überall den Wert 0,6 annimmt: Da gibt's offenbar mehrere Stellen, genau gesagt unendlich viele. Die allererste liefert Dir Dein Taschenrechner mit dem Arkussinus von 0,6. (Vorher auf RAD stellen!) Ich bekomme etwa 0,6435. Und das ist auch der erste x-Wert in der Grafik, an der die Kurve 0,6 annimmt. Siehst Du das? Da der Sinus sich nun mit der Periode wiederholt, weißt Du auch, wo weitere passende x-Werte sind, nicht wahr? Das ist aber erst die halbe Miete, denn es gibt ja noch eine Stelle, nämlich wo die Kurve abfällt. Die müssen wir auch noch herausfinden. Dazu benutzen wir die Symmetrie der Kurve. Diese gesuchte x-Stelle ist nämlich vom ersten Hochpunkt des Sinus genausoweit entfernt wie die bereits gefundenen 0,6435. Der erste Hochpunkt liegt ja bei . Wie lautet also unsere zweite Stelle? Viele Grüße Steffen |
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12.03.2015, 15:58 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Trigonometrische Gleichungen lösen?
Ja, so meinte ich das auch. ^^" Also wenn ich die Gleichung löse, muss ich im Taschenrechner Sinus^-1 (bzw Cosinus/Tangens) einstellen und dann da das Ergebnis der Gleichung eingeben, um dann auf den ersten Wert zu kommen? (auf RAD bin ich) Aber ich versteh die Frage nicht ganz. Also dieser zweite Hochpunkt liegt doch bei 2Pi, oder nicht? Und die Stelle, wo die Kurve zum ersten Mal abfällt, ist bei Pi? |
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12.03.2015, 16:09 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Trigonometrische Gleichungen lösen?
Ich kenne Deinen Taschenrechner nicht, aber er hat offenbar eine -Taste für den Arkussinus. Einzugeben ist dann vielleicht . Zur Not schau in die Bedienungsanleitung.
Der erste positive Hochpunkt des Sinus liegt bei . Der zweite Hochpunkt liegt dann bei , der dritte bei und so weiter.
Zum ersten Mal abfallen tut sie nach dem ersten Hochpunkt. Meinst Du, wo sie zum ersten Mal negativ wird? Das wäre tatsächlich bei . Aber warum willst Du das wissen? |
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12.03.2015, 16:19 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Trigonometrische Gleichungen lösen? Ja, das ist bei meinem Taschenrechner so, dann komm ich auch auf das Ergebnis. ^^ Also beim Sinus liegen die Hochpunkte dann allgemein immer an diesen Stellen? Aber wie genau hilft mir das bei der Aufgabe, das zu wissen? Also wie komm ich denn theoretisch vom ersten x-Wert 0,643 auf weitere, ohne die Sinuskurve zu verwenden? Und woher weiß ich bei den Aufgaben, da eben die Aufgabenstellung: "Gib alle Lösungen der Gleichung an." ist, wie viele Lösungen es denn gibt? Also nochmal einfacher formuliert.. wir sind bei der ersten Aufgabe ja jetzt auf ein Ergebnis gekommen und der Taschenrechner hat dazu den ersten x-Wert gezeigt. Woher weiß ich jetzt, ob und wie viele Lösungen diese Gleichung jetzt noch hat? |
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12.03.2015, 16:27 | moody_gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du musst die Sinuskurve verwenden. Da steht ja sin(x) und du weißt dass sinus periodisch ist, siehst du ja auch wenn du auf das Bild guckst. Alle 2pi ist immer dasselbe. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Aufschreiben tust du das dann so: Wobei Z alle ganzen Zahlen meint also von ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... lg moody |
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12.03.2015, 16:29 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Trigonometrische Gleichungen lösen? Ja, jeder Sinus hat eine Nullstelle bei 0, einen Hochpunkt bei , eine weitere Nullstelle bei und einen Tiefpunkt bei . Und dann geht's wieder von vorn los. Und dieses Wissen um die Sinuskurve musst Du hier durchaus verwenden, es wird vorausgesetzt. Du kannst Dir's auch mit dem Einheitskreis veranschaulichen, aber manche Leute verwirrt das eher noch mehr. Mathematisch schreibt man das dann so: . Das heißt einfach, dass Du zur gefundenen ersten Lösung ganzzahlige Vielfache (auch negative!) von addieren kannst, auch da hat der Sinus den Wert 0,6. Es gibt also unendlich viel Lösungen. Aber wenn Du nun auf das Diagramm schaust, siehst Du, dass sich die rote Sinuskurve die grüne Kurve in Höhe 0,6 schneidet, dann zum Hochpunkt aufsteigt, genausoweit wieder runtergeht und die grüne Kurve erneut schneidet. Diesen zweiten Punkt müssen wir nun ebenfalls herausfinden, eben mit der Symmetrie der Sinuskurve. Auch dieses Wissen wird vorausgesetzt. Wo also ist diese zweite Stelle? |
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12.03.2015, 16:31 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aber wenn ich jetzt beispielsweise eine Klassenarbeit über das Thema schreibe, hab ich die Sinuskurve ja nicht neben mir.
Und wofür steht das k genau? ------ Naja, ja, ich seh die Stelle beim Diagramm schon. Aber das ist ziemlich schwer, genau einzuschätzen, welche Zahl das in etwa ist. Spontan würde ich eben sagen, dass das etwa bei 4 liegt. |
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12.03.2015, 16:53 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein, aber im Kopf. Und kannst sie kurz auf einen Schmierzettel malen.
Eben nicht. Durch die Symmetrie wissen wir, dass sie genauso weit von weg ist wie 0,643: |
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12.03.2015, 17:34 | moody_gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wobei Z alle ganzen Zahlen meint also von ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... So hätte das eigentlich aussehen müssen, konnte nicht edieiren. Ansonsten hat Steffen da schon viel gutes erklärt. Am Ende ist halt wichtig dass du Sin, Cos weißt wie die aussehen, und was dann jeweils bei und passiert. Da sich das alles wiederholt reicht das. |
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12.03.2015, 17:37 | moody_gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich hätte mich anmelden sollen, keine Ahnung wo das a da her kommt. So sieht es verständlich aus hoffe ich |
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12.03.2015, 17:38 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Irgendwie bin ich zu blöd, das genau zu verstehen. Und ich weiß immer noch nicht, wie mir das jetzt genau helfen soll, die Aufgaben zu lösen. :| Ich hab anderweitig jetzt herausbekommen, dass ich auf die zweite Lösung komme, indem ich Pi-0,643 rechne. Und bei Cosinus wäre es, indem ich 2Pi-das erste Ergebnis rechne, um auf das zweite zu kommen. Das war eigentlich das, was ich unter Anderem wissen wollte. Wieso genau man das so macht, ist mir eigentlich nicht ganz so wichtig. :/ |
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12.03.2015, 17:41 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Dankeschön. Können wir uns dennoch einigen, dass Du Dich mit Deinen Beiträgen etwas zurückhältst, bis die Fragen geklärt sind? Du kannst Dir ja derweil unser Boardprinzip durchlesen, insbesondere den Satz mit den Köchen und dem Brei. |
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12.03.2015, 17:46 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du willst doch herausbekommen, wann die Sinuskurve den Wert 0,6 annimmt. Den ersten Wert hat Dir der Taschenrechner geliefert. Wenn Du mein letztes Diagramm anschaust, siehst Du, wo der zweite Wert (nennen wir ihn x) ist. Und der Abstand, also die Differenz vom zweiten Wert x zu ist derselbe wie von 0,643 zu ! Als Formel: Jetzt? EDIT: ich sehe gerade, dass Du es herausbekommen hast. Die zweite Lösung ist also etwa 2,5. Somit ist die erste Aufgabe gelöst. Kommst Du bei den anderen nun weiter? |
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12.03.2015, 17:49 | moody_ds | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Dass ich auch nichts edieren konnte hat die Sache auch nicht besser gemacht Also jetzt weiß ich Bescheid. |
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12.03.2015, 17:53 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Na denn: willkommen im Matheboard! Viele Grüße Steffen |
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12.03.2015, 18:00 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, ich weiß zumindest, wie man jetzt auf die Ergebnisse kommt. - Wenn ich die Aufgabe "3sin(x)-sin(x)=1,2" habe, kann ich dann den einen Sinus vom anderen abziehen? Also dass da dann 2sin(x)=1,2 steht? Oder sollte ich zuerst durch drei teilen? Dann hätte ich ja aber sin(x)-sin(x)=0,4. Und dann würde der Sinus ja wegfallen? |
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12.03.2015, 18:08 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Richtig. Drei Irgendwas minus ein Irgendwas sind zwei Irgendwas. |
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12.03.2015, 18:17 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Okay, also hab ich dann 2sin(x)=1,2. Dann rechne ich durch zwei und hab sin(x)=3/5. Dann ist x1=0,643 und x2=2,498. Ist das so richtig? Jetzt hab ich eben die Aufgabe sin(3x-2)=0,6. Wie geh ich dann am besten vor? |
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12.03.2015, 18:26 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, aber nicht vergessen, jeweils noch die Vielfachen von dazuzuschreiben. Denn auch sin(21,347)=0,6 (probier's aus)!
Jetzt sind die Lösungen nicht mehr und , sondern eben und . Um x zu erhalten, musst Du also nur noch ein bisschen umformen. |
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12.03.2015, 20:51 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Was bedeutet die Vielfachen von 2Pi? Und was passiert bei der zweiten Aufgabe dann mit dem Sinus? Also von der Anfangsaufgabe die ich da hatte, wie komm ich da direkt zu den beiden Gleichungen? |
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12.03.2015, 21:07 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also ich hab ne andere Aufgabe, die lautet 4sin(x-3Pi)=3,5. Dann wurde das "x-3Pi" herausgenommen und dann steht da "x-3Pi=1,0654" Das könnte ich dann ja umformen. Aber wie komm ich darauf, dass x-3Pi=1,0654 ist? Denn so könnte ich ja dann auch bei der anderen Aufgabe vorgehen. |
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12.03.2015, 21:15 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Vielfache einer Zahl sind das 1-Fache, das 2-Fache, das 3-Fache und so weiter. Auch das Nullfache, die Null ist Vielfache jeder Zahl. Und dann noch ins Negative: das -1-Fache, das -2-Fache etc. Warum das Ganze? Der Wert eines Sinus an einer Stelle x ist derselbe, wenn Du ihn an der Stelle x+2pi berechnest. Oder an der Stelle x+6pi. Oder bei x-1000pi. Und deshalb muss man das mit den Vielfachen hinzufügen, wenn man sämtliche Lösungen angeben will. Wenn Du bei der Gleichung sin(3x-2)=0,6 auf beiden Seiten den Arkussinus bildest, entsteht doch 3x-2=arcsin(0,6). Der Sinus links verschwindet, weil seine Umkehrfunktion auf ihn angewendet wird. Und rechts wissen wir ja nun sämtliche Lösungen. Genauso wurde bei Deinem anderen Beispiel verfahren: auf beiden Seiten den Arkussinus. |
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12.03.2015, 21:21 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Also gut, angenommen ich hab dann die Aufgabe 4sin(x-3Pi)=3,5. Und ich wende dann diesen arcsin an. Steht dann da x-3Pi=4arcsin(3,5) oder wie? :/ |
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12.03.2015, 21:30 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Fast. Vorher musst Du noch auf beiden Seiten durch 4 teilen. Der Arkussinus will einen sin sehen, keinen 4sin. |
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12.03.2015, 21:36 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Aber das in der Klammer wird ja durch das Teilen nicht beeinflusst, oder? Also bleibt dann trzd so bestehen? Und noch ne Frage zu der vorherigen. Wenn ich also dann jetzt sin(3x-2)=0,6 habe, diesen arcsin anwende und dann 3x-2=0,64 habe, muss ich dann noch nach x auflösen. Also +2 und durch 3, sodass ich dann x=0,88 habe? |
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12.03.2015, 21:40 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Richtig: 4sin(x-3pi)=3,5 -> sin(x-3pi)=3,5/4 -> x-3pi=arcsin(3,5/4) -> x=arcsin(3,5/4)+3pi |
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12.03.2015, 21:45 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Und das ist dann mein erstes x und für das zweite muss ich dann Pi-10,49 (das war das Ergebnis) rechnen? |
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12.03.2015, 21:52 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, das Schema funktioniert auch hier. Siehst Du die beiden Punkte? |
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12.03.2015, 22:11 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, also der eine scheint ja dann bei 10,5 zu sein. Ist der andere da dann bei ca. -7? |
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12.03.2015, 22:14 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, die beiden sind's. Viele Grüße Steffen |
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13.03.2015, 17:35 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich hab jetzt soweit solche Aufgaben weiter gerechnet, wie z.B. "sin(1/2x-Pi/3)=-0,1" und hab da als x1=1,894 und x2=1,247. Jetzt bin ich aber bei der Aufgabe cos(6x-3)=2cos(6x-3)+1. Ich seh, dass in der Klammer auf beiden Seiten das gleiche steht, aber hilft mir das in irgendeiner Weise weiter? Wenn ich jetzt zuerst durch 2 teile, würde das was bringen? Und dann kommen da weitere Aufgaben, wie cos(2x+1)=3sin(2x+1). Was mach ich da? Da hab ich ja nicht nur Sinus oder Cosinus, sondern direkt beides? |
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13.03.2015, 17:58 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Da bekomme ich was anderes raus: Wie hast Du gerechnet?
Klar! Subtrahiere auf beiden Seiten cos(6x-3).
Teile auf beiden Seiten durch cos(2x+1) und denk an die Definition des Tangens. |
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13.03.2015, 18:10 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ich hab bei sin(1/2x-Pi/3)=-0,1 eben zuerst diesen arcsin gerechnet, also dann 1/2x-Pi/3=arcsin(-0,1). Das führte dann zu 1/2x-Pi/3=-0,10016. Dann hab ich +Pi/3 gerechnet, ergab 0,94703. Und dann noch durch 1/2, wobei ich gerade merke, dass ich vielleicht eher mal 2 rechnen müsste, damit ich dann auf das ganze x komme, oder? Aber dann wäre ich wieder bei x=1,894. Wenn ich bei der zweiten Aufgabe, also "cos(6x-3)=2cos(6x-3)+1" dann cos(6x-3) subtrahiere, hab ich dann 0=cos(6x-3)+1 ? Und die dritte Aufgabe versteh ich trotzdem nicht. Also die Definition des Tangens ist ja tan=sin/cos. Hätte ich dann bei cos(2x+1)=3sin(2x+1), wenn ich durch cos(2x+1) teile, 1=3sin(2x+1)/cos(2x+1)? |
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13.03.2015, 19:04 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, die stimmen auch. Aber die Methode, das für den zweiten Punkt einfach von pi abzuziehen, funktioniert hier leider nicht mehr. Wie kommt man mit Symmetrieüberlegungen zum anderen Schnittpunkt?
Genau. Und nun noch auf beiden Seiten -1 und dann mit dem arccos weiter.
Richtig. Und das ist nach Definition 3tan(2x+1). Durch 3 und den arctan. |
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13.03.2015, 19:25 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Naja, liegt der andere dann nicht bei 8,4 oder so? Die zweite Aufgabe hab ich gerechnet und hätte dann für x=1,0235 und x2=2,1179 heraus. Aber woher weiß ich denn, wann ich jetzt für das zweite x diese Formel, also "Pi- " benutzen darf? Bei der dritten hab ich am Ende für x=-0,3391. Wie würde ich da denn auf das zweite x kommen? Wenn ich die Aufgabe "sin(x)+cos(x)=0" habe, wie rechne ich das dann um? Wenn ich da beispielsweise -cos(x) rechnen würde, hätte ich dann "sin(x)=0-cos(x)" und das würde mir ja auch nicht weiterhelfen. Teilen kann ich ja auch nicht, da alles geteilt durch 0 ja 0 ergibt. |
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13.03.2015, 22:05 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja, aber wo genau? Versuch mal, den Hochpunkt auszurechnen! Du kannst herausfinden, wo der Hochpunkt ist. Und beide x-Werte sind gleich weit davon entfernt.
Und das ist völlig richtig.
Siehe oben. Versuch es herauszufinden! Eine nette Beschäftigung fürs Wochenende.
Das Ergebnis stimmt! Und beim Tangens gibt es kein zweites x. Schau selbst:
Teil doch mal durch cos(x). |
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14.03.2015, 15:56 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wie rechne ich den Hochpunkt denn aus? Es ist vielleicht eine nette Beschäftigung, aber ich versteh' es leider nicht wirklich. Wenn ich bei "sin(x)+cos(x)=0" durch cos teile, hab ich ja "sin(x)=0/cos(x)" Aber wie bringt mich das weiter? Außerdem hab ich dann noch weitere Aufgaben wie "2sin(x)=cos(x)". Darf ich da beispielsweise dann auch durch cos(x) rechnen und hätte dann wieder 2sin(x)/cos(x)=1? Und auch die Aufgabe "4cos(x)=3sin(x)" und ich seh' das irgendwie nicht wirklich, wie ich da vorgehen soll. |
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14.03.2015, 21:50 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ein Sinus hat seinen Hochpunkt immer bei . Das heißt hier, dass der Term den Wert annehmen muss! Nun rechne x aus.
Nicht doch! Du hast dann . Und nun denk wieder an den Tangens und forme um.
Genau! Hier stimmt es.
Wieder dasselbe: auf beiden Seiten durch cosx. |
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15.03.2015, 16:56 | Maja199 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ist x dann 5/3 Pi? Wenn ich "sin(x)/cos(x)+cos(x)/cos(x)=0" habe, fällt dann nicht cos(x)/cos(x) weg und ich hab dann nur noch "sin(x)/cos(x)=0", womit ich also dann "tan(x)=0" habe? Dann wäre x=0. Und bei "2sin(x)=cos(x)", wenn ich dann zu "2sin(x)/cos(x)=1" komme, hätte ich dann direkt "2tan(x)=1"? Dann durch 2, dann hätte ich tan(x)=0,5 und somit für x=0,4636. Bei "4cos(x)=3sin(x)" bin ich mir nicht sicher. Wenn ich da dann wieder durch cos(x) teile, hätte ich ja "4cos(x)/cos(x)=3sin(x)/cos(x)". Wenn das cos(x)/cos(x) wieder wegfallen würde, hätte ich dann also 4=3sin(x)/cos(x). Dann durch 3, also dann 4/3=tan(x). Womit ich dann für x =0,9272 hätte. Stimmt das? |
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