Frage zur lin. Unabhängigkeit von Vektoren

12.03.2015, 20:37

martinio

Frage zur lin. Unabhängigkeit von Vektoren

Hallo,

ich hätte eine weitere Frage zur lin. unabhängigkeit von vektoren.

gegebn sei eine menge von vektoren $\begin{eqnarray*} \left\{ v_1, v_2, ... , v_n\right\} \end{eqnarray*}$ . Diese sind genau dann lin. unabhängig, wenn die einzige lösung für die linearkombination des Nullvektor nur die triviale lösung in frage kommt, d.h. $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0 \end{eqnarray*}$ .

Also lässt sich ein LGS aufstellen: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Nehmen wir mal an, dass ich konkret diese menge an vektoren gegenben hätten:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 8 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} , v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} , v_4 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , v_5 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann lautet das zuzgehörige LGS

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & -1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 & 1 &| & 0 \\ 8 & 2 & 4 & 0 & 2 & | & 0 \\ 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & | & 0 \\ 5 & 1 & 2 & 1 & 1 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und auf Zeilenstufenform gebracht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 &| & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was genau folgt jetzt hinsichtich der lin. unabhängigkeit daraus?

12.03.2015, 21:30

leoclid

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Du musst die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems betrachten. Da es ein homogenes Gleichungssystem ist, hat es mindestens eine Lösung, es kann aber auch unendlich viele Lösungen haben.

Probiere, die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems anzugeben.

12.03.2015, 21:46

martinio

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Die Lösungsmenge könnte sein:

$\begin{eqnarray*} L(A^{*},b^{*})= \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \lambda, \mu \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

12.03.2015, 21:48

martinio

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Da unendlich viele Lösungen sind die Vektoren lin. abhängig. Aber kann ich nicht sogar daraus schließen, dass die ersten drei Vekotoren lin. unabhängig sind, da diese in einer obere dreiecksmatrix stehen?

12.03.2015, 22:44

Dopap

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Zitat:

Original von martinio
Die Lösungsmenge könnte sein:

$\begin{eqnarray*} L(A^{*},b^{*})= \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \lambda, \mu \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Was wird hier berechnet ? Eine Lösungsmenge ist doch nicht wirklich gesucht.
Es geht doch nur darum eine nichttriviale Lösung für die "Unbekannten"
$\begin{eqnarray*} \lambda_i \quad i=1\cdots 5 \end{eqnarray*}$ zu finden.

Die lineare Abhängigkeit ist aber nach der ersten Nullzeile schon klar.

Aber eines lässt sich dann doch noch feststellen. rang(A)=3 und damit spannen deine Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec v_i \end{eqnarray*}$ einen 3-dimensionalen Unterraum auf.

13.03.2015, 16:20

martinio

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Okay, die Aufgabenstellung lautet konkret:

Zitat:

Finden Sie unter den folgenden Vektoren 3 Vektoren, die linear unabhängig sind. Gibt es darunter sogar 4 Vektoren, die linear unabhängig sind?

Durch den rang der Matrix kann man also sagen, welcher Raum aufgespannt wird, in diesem Fall also der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . D.h.
$\begin{eqnarray*} \dim\left\{ \text{span}\left\{ v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\right\} \right\} \end{eqnarray*}$ und dass folgich die zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_4, v_5 \end{eqnarray*}$ durch eine Linearkombination dargestellt werden können.

Es kann also auch keine vier lin. unabhängigen Vektoren geben, denn die Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. jeder Vektor des R^3 kann als LK dargestellt werden.

13.03.2015, 17:15

Dopap

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zur Aufgabe: Nur die 3 Vektoren $\begin{eqnarray*} \{ \vec v_2, \vec v_3,\vec v_5 \} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig.

Alle restlichen Kombinationen sind lin. unabhängig.

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