Überlegungen zu injektiv, surjektiv und Dimensionsformal

13.03.2015, 20:36

Marius_E

Überlegungen zu injektiv, surjektiv und Dimensionsformal

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei mir die Begriffe injektiv und surjektiv beizubringen...
Beim Lesen der ganzen Definitionen sind mir einige Überlegungen aufgekommen, bei denen ich gerne wissen würde ob diese so richtig sind.

Der Rang einer linearen Abbildung ist ja die Dimension des Bildes dieser Abbildung. Um eine surjektive Abbildung zu haben müsste doch dann der Rang der Abbildung (also die Dimension vom Bild) genauso groß sein wie die Dimension des Raumes in den abgebildet wird.

Wenn ich z.B. eine Abbildung vom R^2 in den R^2 habe und der Rang 2 ist, ist die Abbildung surjektiv, oder? Laut Dimensionsformel müsste ja dann die Dimension des Kerns 0 sein und die Abbildung somit bijektiv sein.

Was mich hierbei etwas verwirrt ist, dass ja dann eine lineare Abbildung nur surjektiv sein kann wenn sie auch injektiv ist ....

Hoffe das nicht alles falsch ist Big Laugh

Diese ganzen Definitionen sind mir echt ne Nummer zu abstrakt.

Meine Ideen:
Vielen Dank schonmal !

13.03.2015, 20:39

Helferlein

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RE: Überlegungen zu injektiv, surjektiv und Dimensionsformal

Zitat:

Original von Marius_E
Hoffe das nicht alles falsch ist Big Laugh

Ganz im Gegenteil. Alles, was Du geschrieben hast, ist korrekt.

13.03.2015, 21:01

Marius_E

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Okay! Vielen Dank das du dir das nochmal angeschaut hast!!!
Scheint als hätte sich meine Lernerei heute bezahlt gemacht smile

14.03.2015, 11:32

Elvis

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Vorsicht. Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:V\to W \end{eqnarray*}$ endlichdimensionaler Vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. Für lineare Abbildungen im allgemeinen gilt das nicht.

14.03.2015, 13:54

aXon

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Zitat:

Original von Elvis
Vorsicht. Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:V\to W \end{eqnarray*}$ endlichdimensionaler Vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ ist genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist. Für lineare Abbildungen im allgemeinen gilt das nicht.

Gilt das nicht nur wenn $\begin{eqnarray*} V=W \end{eqnarray*}$ ist ?

14.03.2015, 14:00

Elvis

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Entschuldigung, ich habe $\begin{eqnarray*} dim(V)=dim(W) \end{eqnarray*}$ vergessen. Und natürlich müssen die Vektorräume denselben Grundkörper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ haben. Die Vektorräume können sehr unterschiedlich sein.

17.11.2015, 18:03

darth maul

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Und wie ist das Ganze dann bei f $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Hom(V,W) und der Rang von f ist Null( rg f = 0)?
Ist die Funktion dann surjektiv?

18.11.2015, 12:59

Elvis

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Der Rang von $\begin{eqnarray*} f:V\to W \end{eqnarray*}$ ist die Dimension des Bildraums $\begin{eqnarray*} f(V)\le W \end{eqnarray*}$ .

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