Spinnt Wolframalpha?

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »
Spinnt Wolframalpha?
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{2%2C2%2C1}%2C{1%2C3%2C1}%2C{1%2C2%2C2}}

Ich habe hier die Eigenwerte berechnet und habe bei mir die Eigenwerte 1 und 5 berechnet. Hier wird mir jetzt zwei mal 1 angezegigt, was ich durchaus nachvollziehen kann, wenn man das Polynom löst. Aber nur weil man zwei mal die 1 gefunden hat, heißt das doch nicht, dass es zwei Eigenwerte gibt die 1 sind, oder? Es ist doch trotzdem immer noch ein Eigenwert. Deswegen verstehe ich auch nicht, warum man hier 3 verschiedene Eigenvektoren hat.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Gib mal die Matrix an, der Link geht nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das charakteristische Polynom hat die einfache Nullstelle 5 und die doppelte Nullstelle 1, als den Eigenwert 1 mit der algebraischen Vielfachheit 2.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst den Rest hinter dem Link mitkopieren und dann einfügen
http://www.wolframalpha.com/input/?i={{2%2C2%2C1}%2C{1%2C3%2C1}%2C{1%2C2%2C2}}
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1 ist auch 2, d.h. ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist 2-dimensional. Das kannst du leicht nachrechnen; bestimme den Kern von A-E.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

goldfisch:
hattet ihr in der Vorlesung bereits die Begriffe "algebraische" und "geometrische Vielfachheit"?

Du solltest jetzt merken, dass jede doppelte Nullstelle auch doppelt gezählt wird. Dies birgt nämlich gewisse analytische Eigenschaften. In der Algebra betrachtet man allerdings nur (ich begebe mich mal auf Glatteis! Big Laugh ) die algebraischen Eigenschaften.

Wenn ihr die Diagonalisierbarkeit ansprecht, dann wird das exakte Wissen über algebraische und geometrische Vielfachheit wichtig werden. Algebraisch bedeutet: wie häufig ist der Wert x Lösung der Gleichung f(x)
geometrisch: Wie viele Vektoren gibt es für den Wert x.

In Bezug auf das charakteristische Polynom:
algebraisch: Lösungen der Gleichung det(A-xE)=0(seien diese einfach x0 und y, dann kann ich LaTeX vermeiden smile ) -> Wie oft ist x0 und wie oft y Lösung?
geometrische Vielfachheit von x0: Wie viele Basiselemente hat ker(A-xE)? Und
Analog: geometrische Vielfachheit von y: Wie viele Basiselemente hat ker(A-yE)?

Um sich die Zuordnung einzuprägen hilft:
algebraisch ~ Lösung von Gleichungen,
geometrisch ~ zeichnen ~ Vektoren.

Hilft dir das vlt. die Ausgabe von Wolfram zu verstehen? Es gibt dir nicht nur die Lösungen an, sondern auch, wie häufig dies Lösung ist. Dementsprechend kannst du auch dein Char. Poly faktorisieren. Ist z.B. x0 zweifache Nullstelle und y einfache, dann kannst du auch schreiben.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shalec
In der Algebra betrachtet man allerdings nur (ich begebe mich mal auf Glatteis! Big Laugh ) die algebraischen Eigenschaften.


Danke für die ergänzende Begriffserklärung, die ist richtig gut.
Auf dem Glatteis bist Du erwartungsgemäß ausgerutscht, denn in der linearen Algebra spielt die geometrische Vielfachheit eine besondere Rolle bei der Klassifikation der linearen Abbildungen. Stichworte: Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen, Diagonalisierbarkeit, Eigenräume, Haupträume, Jordan-Normalform.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Als analytische Eigenschaften habe ich mehr an Singularitäten gemeint. Diese sind mir in der Algebra nie untergekommen. Aber ich habe da auch kein allzu weit gefächertes Wissen. smile

Nicht gemeint war hier, dass man nur die algebraische Vielfachheit und nicht oder nur selten die geometrische betrachtet.
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