Eigenwerte bestimmen

15.03.2015, 17:03

Maiken

Eigenwerte bestimmen

Meine Frage:
Hi,

ich habe die folgende Abbildung gegeben:
$\begin{eqnarray*} <br /> f_{a}:\mathbb R ^{2} \Rightarrow \mathbb R ^{2} , A= \begin{pmatrix} \cos(\alpha ) & - \sin(\alpha ) \\ \sin(\alpha ) & \cos(\alpha ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich prüfen für welche Werte von alpha die Abbildung Eigenwerte in R besitzt und diese dann angeben.

Meine Ideen:
Meine Idee war zuerst einmal das charakteristische Polynom zu bestimmen.
Dabei bin ich auf $\begin{eqnarray*} (\cos(\alpha ) - \lambda) ^2 + \sin^2(\alpha ) \end{eqnarray*}$ gekommen.

Die Nullstelle wäre ja dann lamda ...

15.03.2015, 18:06

echnaton

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Zitat:

Dabei bin ich auf $\begin{eqnarray*} (\cos(\alpha ) - \lambda) ^2 + \sin^2(\alpha ) \end{eqnarray*}$ gekommen.

Wende mal die binomische Formel und anschließend die pq-Formel an. Für welche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist die Diskriminante dann nicht negativ?

Anmerkung:
Bei der Abbildung handelt es sich um eine Drehung um den Nullpunkt im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist anschaulich klar, dass nur für $\begin{eqnarray*} \alpha_{1,2} = 0,\pi \in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ Eigenwerte existieren.

15.03.2015, 18:18

Elvis

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt es dann wesentlich mehr Eigenwerte als in $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

15.03.2015, 18:27

echnaton

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Stimmt, da hast du natürlich recht. Man muss die Periodizität der trigonometrischen Funktionen beachten. Ich war in meiner Anmerkung zu sehr auf die Anschauung fixiert. Augenzwinkern

15.03.2015, 18:35

Maiken

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Hmm grade etwas verwirrt...

Wenn ich die binomische Formel anwende bekomme ich :
$\begin{eqnarray*} <br /> \cos^2(\alpha ) - 2\cos(\alpha )\lambda + \lambda ^2 + \sin^2(\alpha ) <br /> \end{eqnarray*}$

Mich verwirrt in dem Zusammenhang wie ich darauf jetzt die pq-Formel anwenden kann ...

15.03.2015, 18:42

Elvis

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Das ist ganz klar eine quadratische Gleichung mit der Variablen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Um damit weiter zu arbeiten, muss man einiges über trigonometrische Funktionen wissen. Die Idee von echnaton, die Matrix als Darstellungsmatrix einer Drehung um 0 aufzufassen, ist von daher viel besser.

15.03.2015, 20:50

Maiken

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Ehrlich gesagt versthe ich immernoch nicht so ganz wie ich hier jetzt am besten vorgehe verwirrt

15.03.2015, 22:19

Elvis

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welchen vektor lässt welche drehung fest?

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