regelmäßige Pyramidenreihe

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Yakeöwü Auf diesen Beitrag antworten »
regelmäßige Pyramidenreihe
Meine Frage:
Wie lässt sich dieser Grenzwert/Sachverhalt mathematisch richtig
darstellen?

Meine Ideen:
Gleichseitige Pyramiden beginnend, mit der Grundfläche eines gleichseitigen
Dreiecks, Quadrates, regelmäßigen Fünfecks, regelmäßiges Sechseck.
Danach endet die "regelmäßige Pyramidenreihe" da z.B. im regelmäßigen
Siebeneck es nicht mehr möglich ist eine gleichseitige Pyramide zu
bilden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wer sagt das?
Es gibt doch auch regelmäßige Siebenecke. verwirrt

mY+
Yakeöwü Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt schon regelmäßige Siebenecke, aber keine gleichseitige Pyramide mit
regelmäßiger Siebeneckgrundfläche.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss mal ein Begriff geklärt werden: Was verstehen wir unter gleichseitige Pyramiden?
Nicht nur die Seitenkanten, sondern auch die Grundkanten sind gleich lang?

OK, wenn dem so ist, stimmt es natürlich, dass die sechsseitige Pyramide die letzte dieser Pyramiden ist.

Bezeichne die Seitenkante mit s, die Grundkante mit a und es soll gelten a = s
Die Körperhöhe sei h

Wir wissen, , somit muss gelten:
Das regelmäßige n-Eck der Grundfläche besteht aus n gleichschenkeligen Dreiecken, deren Winkel beim Mittelpunkt ist.

Drücke nun mittels und aus und setze dieses dann in die obige Beziehung ein.
Daraus resultiert eine Bedingung für und damit letztendlich für .

mY+
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Einmal anschaulich.

seien zwei benachbarte Ecken des regelmäßigen Siebenecks, sein Mittelpunkt. Die Spitze der Pyramide liegt auf der Orthogonalen des Siebenecks durch .

Jetzt betrachtet man im gleichschenkligen Dreieck den Winkel bei . Wenn sich von weg bewegt, wachsen bei gleichbleibender Basis die Schenkel des Dreiecks und der Winkel wird kleiner. Das Maximum von wird im Entartungsfall angenommen, wenn die Pyramide also zum Siebeneck zusammengeschrumpft ist:



Und bei höherer Eckenzahl argumentiert man genau so.
Yakeöwü Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, dass sich die regelmäßige Sechseckpyramide auch nicht in die Höhe erhebt, bitte ich
sie mir zu bestättigen oder zu dementieren, dass die Höhe einer regelmäßigen Fünfeckpyramide,
bei der alle Seiten gleich lang sind, ungefähr 0,526 multipliziert mit der Seitenlänge ist. (Berechnet
mit r=a/(2*sin36°) und h=a*sqrt(1-1/(4*sin36°*sin36°)).
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Der exakte Faktor ist .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen hoher inhaltlicher Überschneidungen (und damit sich kein Helfer unnötige Mehrarbeit macht) bitte auch Thread

Geometrie im Ikosaeder

beachten.

edit von sulo: Da der verlinkte Thread mit einem weiteren zum Thema Geometrie im Ikosaeder zusammengefügt wurde, funktioniert der obige Link nicht mehr. Hier findet sich der Thread: Geometrie im Ikosaeder
Yakeöwü Auf diesen Beitrag antworten »

Bei meiner persönlichen Definition des Ikosaeders muß als Voraussetzung gelten:
Der Satz des Phythagoras gilt nicht im Ikosaeder.

Gilt der Satz des Phythagorases aber, so dürfen Sie meinen Öffnungswinkel und mein
Abstandsmaß auch als Ungefährwert betrachten.
Sehr viel genauer wird es wohl nicht, für meinen Teil.
Vielleicht errechnen Sie ja die genauen Werte für den Krümmungswinkel oder
Öffnungswinkel, sowie die exakten Maße.

Sollte die Mathematik jemals eine Definition für den real existierenden Ikosaeder
brauchen oder wollen, so muß als Voraussetzung gelten:
Im Ikosaeder gilt der Satz des Phythagorases nicht.
Für die Durchmesser (kleinster)/(größter) ergäbe sich ein Umrechnungsfaktor
Quadratwurzel aus 2 / durch Quadratwurzel aus 3. Was auch ohne den Satz
von Phythagoras errechenbar ist. (Verhältnisrechnung)

Prinzipiell dürfen sie meine Teilnahme am Matheboard als beendet betrachten.

Ich danke, vor allem HAL für seine Geduld mit mir. Habe dadurch dazugelernt.

Tschüß.
Yakeöwü Auf diesen Beitrag antworten »
regelmäßige Pyramidenreihe
Es sind drei Pyramiden existend, bei denen die (alle) Kanten gleich lang sind.

1.) Dreieckspyramide mit: Kantenlänge................................................................. K3
Höhe der Grundebene zur Spitze..................................... H3
Abstand von Grundflächenmittelpunkt zur Ecke................. A3
Winkel von Grundebene zur Spitze................................... 60°

2.) Viereckspyramide mit: Kantenlänge.................................................................. K4
Höhe der Grundebene zur Spitze...................................... H4
Abstand von Grundflächenmittelpunkt zur Ecke................... A4
Winkel von Grundebene zur Spitze.................................... 45°

3.) Fünfeckspyramide mit: Kantenlänge................................................................. K5
Höhe der Grundebene zur Spitze...................................... H5
Abstand von Grundflächenmittelpunkt............................... A5
Winkel von Grundebene zur Spitze................................... 30°

Es gibt drei Vergleichsmöglichkeiten:
a.) Die Pyramiden sind gleich hoch:
H3=H4=H5=1
So gilt:
(K3^2+1/2)/2=K4^2/2=K5/2=1
Sowie:
A3^2+1/2=A4=A5^2-2=1

b.) Die Abstände von Grundflächenmittelpunkt zu den Ecken sind gleich:
A3=A4=A5=1
So gilt:
(K3^2-1)/2=K4^2/2=K5^2+2/3=1
Sowie:
H3^2/2=H4=H5^2+2/3=1

c.) Die Kantenlängen der Pyramiden sind gleich:
K3=K4=K5=1
So gilt:
H3^2+1/3=H4^2+1/2=H5*2=1
Sowie:
A3^2+2/3=A4^2+1/2=A5^2+1/4=1

Daraus folgt für beliebige Pyramiden dieser Struktur:

Seitenverhältnisse beachtend, in der Dreieckspyramide mit Faktor F1:

F1*H3(1)=H3(F1)
F1*K3(SQRT 3/SQRT 2)= K3(F1)
F1*A3(SQRT 2/2) = A3(F1)

Seitenverhältnisse beachtend, in der Viereckspyramide mit Faktor F2:

F2*H4(1)=H4(F2)
F2*K4(SQRT 2)=K4(F2)
F2*A4(1)=A4(F2)

Seitenverhältnisse beachrend, in der Fünfeckspyramide mit Faktor F3:

F3*H5(1)=H5(F3)
F3*K5(2)=K5(F3)
F3*A5(SQRT 3) =A5(F3)

Anwendungsbeispiele:

Eine Fünfeckspyramide hat die Höhe H5=67:
Daraus resultieren die Kantenlänge K5=2*67=134
und der Abstand A5=SQRT 3*67

Probe: 67^2+(67*SQRT 3)^2=134^2 wahre Aussage.

Eine Dreieckspyramide hat die Kantenlänge K3=35:
Daraus resultieren die Höhe H3=35*SQRT 2/SQRT 3
und der Abstand A3=(35*(SQRT 2/SQRT 3))*(SQRT 2/2)

Probe: (35*SQRT 2/SQRT 3)^2+((35*(SQRT 2/SQRT 3)*(SQRT 2/2))^2=35^2
Zahlenwert A3=20,2072942
H3=28,5778033
K3=35 wahre Aussage.

Spricht mathematisch etwas gegen meine Ausführungen?
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