Zeigen, dass alle Punkte in einer Ebene liegen

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Rivago Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass alle Punkte in einer Ebene liegen
Gegeben seien die Punkte , , und

Zeigen Sie, dass die vier Punkte alle in einer Ebene liegen.


So, ich konnte mich an eine ähnliche Aufgabe erinnern. Da sollte man das auch zeigen. Da hat man Das Kreuzprodukt angewendet, damit hatte man den Normalenvektor und konnte daraus die Ebene ablesen.

Nun dachte ich mir, das mach ich auch so, und nachdem ich fertig war und in der Lösung guck, war das halt auch schon wieder falsch.







Somit die Ebene


Warum ist das nun schon wieder falsch? unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja noch keine fertige Ebenengleichung, was soll sein? Und wie prüfst du nun, ob der vierte Punkt auch in der Ebene liegt?

Nachtrag: und du hast im Kreuzprodukt einen Vorzeichenfehler, die mittlere Koordinate sollte nicht sein.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hast Recht, das muss +4 sein.

d muss 0 sein, oder? Ich weiß aber nicht warum. Bei der anderen Aufgabe war es aber so..


Sorry wenn ich so viel nachfragen muss, aber ich hatte das mit den Ebenen beim Abi halt wirklich nicht und das Skript ist an der Stelle einfach mega schlecht unglücklich Der Dozent hats halt auch nicht weiter behandelt, weil er sagt, dass man von der Vektorrechnung vieles aus der Schule kennt.

Edit: Ob der 4. Punkt in der Ebene liegt prüf ich, indem ich diesen Punkt in die fertige Ebenengleichung einsetz.

Wenn ich das so seh, kann d also auch nicht 0 sein, sondern muss -9 sein, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Rivago
Wenn ich das so seh, kann d also auch nicht 0 sein, sondern muss -9 sein, oder?


Immer noch: Vorzeichen!

Sagen dir denn die Begriffe Parameterform, Normalform und Koordinatenform einer Ebene etwas? Implizit hast du diese verwendet, die genaue Definition scheint dir aber nicht klar zu sein. Schlag diese mal nach.

Das bekommst du, wenn du die Normalform ganz ausmultiplizierst.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »



Das müsste die Normalenform sein, oder?

Den Normalenvektor hab ich, aber was ist x und p?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

ist der bzw. ein Stützvektor der Ebene. Wenn du diese Darstellung dann mit Hilfe des Skalarprodukts ausmultiplizierst, erhältst du die Koordinatenform (inklusive ).
 
 
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist x?

Und welche Koordinaten hat denn dann p? unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Solche Sachen sollten eigentlich im Skript stehen. unglücklich

Sind drei Punkte des Anschauungsraums , die nicht alle auf einer Geraden liegen, so ist die durch die Punkte eindeutig festgelegte Ebene (in Parameterform). Alle , die sich also als eine solche Linearkombination darstellen lassen, sind in der Ebene enthalten. heißt der Stützvektor der Ebene und wird bei euch anscheinend als geschrieben, und heißen Spannvektoren der Ebene.

Die Bedeutung von und bleibt beim Übergang zur Normalform gleich, d.h. wenn du die Parameterform bestimmt hast, dann hast du einen(!) möglichen Vektor für , den du verwenden kannst.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »



So?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und jetzt nicht bei jedem kleinsten Schritt nachfragen ob das stimmt oder ob da was falsch ist. Versuch es doch einfach mal weiter zu führen.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hab ichs jetzt.

Hätte ich als p jeden beliebigen Punkt (A1 bis A4) nehmen können?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

A4 hattest du in der Ebenengleichung nicht verwendet, daher hättest du den nicht nehmen können. Alle anderen wären aber möglich gewesen.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.. dann hab ich das jetzt hoffentlich verstanden.

Noch kurz: Wenn in der Prüfung sowas dran kommt "Zeigen Sie, dass die Punkte .... alle in einer Ebene liegen..", kann ich dann immer so verfahren, wie ich das jetzt gemacht hab?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist eigentlich der übliche Weg bei so einer Fragestellung.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

OK smile


Und wie ist es dann mit diesem Lösungsweg?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wird die Koordinatenform nur auf eine andere Art berechnet, ohne die Normalform zu bestimmen. Die Grundidee ist aber nicht großartig anders.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Okay Freude

Ich merk mir einfach jetzt mein Vorgehen und hoff darauf, dass es dran kommt. Geschenkte Punkte.. So sonderlich schwer ist es ja nicht, wenn man es einmal verstanden hat.

Danke noch mal Freude smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

und auch hier wieder der andere mögliche Weg:

wenn die Determinante von 3 Differenzvektoren Null ist, dann liegen die 4 Punkte in einer Ebene.
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Also stellt man sich 3 Vektoren auf, zum Beispiel , und

Und jetzt davon die Determinante bestimmen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

genau das meinte ich!
Rivago Auf diesen Beitrag antworten »

Und das geht wie?







Jetzt die Determinante von jedem Vektor?

Oder schreibt man das so auf? :

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »



ja, als Determinante.
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