Funktionen bijektiv machen

04.03.2007, 22:24

NAF

Funktionen bijektiv machen

Seien die folgenden Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben

$\begin{eqnarray*} G_1 := \{(x,y)\in \mathbb R \times \mathbb R : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G_2 := \{(x,y)\in \mathbb R\backslash \{0\} \times \mathbb R : y=\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$

Schränken Sie Bildbereich und Definitionsbereich von f_i (Funktionen von G_i) soweit ein, dass die Funktionen bijektiv werden.

Also G_1 ist injektiv, aber nicht surjektiv, da y=1 und y=-1 eine Asymptote ist.

Also muss ich das abkappen, was über y=1 und unter y=-1 ist.

Wie schreibe ich das jetzt mathematisch auf?

$\begin{eqnarray*} G_1 := \{(x,y)\in \mathbb R\backslash \{0\} \times \mathbb R \in (-1,1) : y=\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$

Was ist mit G_2? Ich würde sagen, das ist bijektiv, weil injektiv (f(x1)=f(x2)=>x1=x2) gilt und surjektiv...das ist problematisch, die x und y-achse sind ja asymptoten. Die Null wurde aber bei der x-Achse herausgenommen. Heißt das, dass ich die Null von der Y-Achse auch noch herausnehmen muss?

04.03.2007, 22:51

therisen

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Hallo,

zu $\begin{eqnarray*} G_1) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} g_1(1) = \frac{1}{1+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_1(-1)=\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$ . Es liegt also keine Asymptote vor Augenzwinkern

zu $\begin{eqnarray*} G_2) \end{eqnarray*}$ Wenn du dir den Graph anschaust, fällt dir auf, dass nur $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ nicht angenommen wird. Der Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ kann dir egal sein, denn dort ist die Funktion nicht definiert Augenzwinkern

Gruß, therisen

05.03.2007, 14:42

NAF

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Hoi

und wie mache ich G_1 jetzt bijektiv, oder ist es das schon?

Alsozu G2, bijektiv: $\begin{eqnarray*} G_2 := \{(x,y)\in \mathbb R\backslash \{0\} \times \mathbb R\backslash\{0\} : y=\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2007, 15:00

therisen

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Zitat:

Original von NAF
und wie mache ich G_1 jetzt bijektiv, oder ist es das schon?

Das frage ich dich Augenzwinkern

Die Injektivität hast du ja (offenbar) schon gezeigt. Für die Surjektivität (falls diese vorliegt) unterscheide zwei Fälle (wobei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gelte):

$\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ eine Lösung?
$\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ . Besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{1-x} \end{eqnarray*}$ eine Lösung?

Kannst du beides bejahen, dann ist die Funktion surjektiv.

Zitat:

Original von NAF
Alsozu G2, bijektiv: $\begin{eqnarray*} G_2 := \{(x,y)\in \mathbb R\backslash \{0\} \times \mathbb R\backslash\{0\} : y=\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, wobei diese Schreibweise etwas seltsam ist.

Gruß, therisen

05.03.2007, 15:49

NAF

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von NAF
und wie mache ich G_1 jetzt bijektiv, oder ist es das schon?

Das frage ich dich Augenzwinkern

Die Injektivität hast du ja (offenbar) schon gezeigt. Für die Surjektivität (falls diese vorliegt) unterscheide zwei Fälle (wobei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gelte):

$\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ eine Lösung?
$\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ . Besitzt die Gleichung $\begin{eqnarray*} y = \frac{x}{1-x} \end{eqnarray*}$ eine Lösung?

Kannst du beides bejahen, dann ist die Funktion surjektiv.

Nein, kann ich nicht, ich würde sagen, sie ist nicht surjektiv!

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von NAF
Alsozu G2, bijektiv: $\begin{eqnarray*} G_2 := \{(x,y)\in \mathbb R\backslash \{0\} \times \mathbb R\backslash\{0\} : y=\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, wobei diese Schreibweise etwas seltsam ist.

Welche wäre denn gut?

05.03.2007, 16:04

therisen

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Zitat:

Original von NAF

Zitat:

Original von therisen
(...)
Kannst du beides bejahen, dann ist die Funktion surjektiv.

Nein, kann ich nicht, ich würde sagen, sie ist nicht surjektiv!

Genau. Und welche zwei Werte musst du rausnehmen, damit du beide Gleichungen lösen kannst (sodass die Funktion dann surjektiv und insgesamt bijektiv wird)?

Zitat:

Original von NAF

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von NAF
Alsozu G2, bijektiv: $\begin{eqnarray*} G_2 := \{(x,y)\in \mathbb R\backslash \{0\} \times \mathbb R\backslash\{0\} : y=\frac{1}{x} \} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, wobei diese Schreibweise etwas seltsam ist.

Welche wäre denn gut?

Ich denke, diese Schreibweise ist vom Aufgabensteller gewünscht (und diese lehne ich ab).

Gruß, therisen

05.03.2007, 16:22

NAF

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Alle oberhalb y=1 und unterhalb von y=-1/2. Nur wie macht man das?

Zitat:

Ich denke, diese Schreibweise ist vom Aufgabensteller gewünscht (und diese lehne ich ab).

Mir ist es wurscht, was der Aufgabensteller wünsch, ich würde deine Schreibweise dazu gerne sehen traurig

05.03.2007, 16:41

therisen

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Der "rechte" Ast:

Der "linke" Ast:

Der Wertebereich ist also offenbar $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ .

In "deiner" Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} G_1 := \left\{(x,y)\in \mathbb R \times (-1,1) : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \right\} \end{eqnarray*}$

Ich hätte das so geschrieben: $\begin{eqnarray*} g_1 : \mathbb R \longrightarrow (-1,1), ~ x\mapsto \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ist bijektiv. Mit $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ bezeichnet man dann den Graphen zu $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ (da macht auch die Mengenschreibweise Sinn).

Gruß, therisen

05.03.2007, 18:14

NAF

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Toll! dankeschön.

Wie bekomme ich aber die Umkehrfunktion hiervon
$\begin{eqnarray*} G_1 := \{(x,y)\in \mathbb R \times \mathbb R : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \} \end{eqnarray*}$

Einfach das Ungleichheitszeichen vertauschen? $\begin{eqnarray*} G_1 := \{(x,y)\in \mathbb R \times \mathbb R : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x<0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases} \} \end{eqnarray*}$

?

Wenn ich allgemein eine Umkehrfunktion bestimmen möchte, z. B. für $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$
Dann muss ich das doch erst nach x umstellen, bevor ich y einsetzen kann? Oder ist der Zeitpunkt des vertauschens egal?

05.03.2007, 18:21

therisen

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Zitat:

Original von NAF
Wie bekomme ich aber die Umkehrfunktion hiervon
$\begin{eqnarray*} G_1 := \{(x,y)\in \mathbb R \times \mathbb R : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \} \end{eqnarray*}$

Einfach das Ungleichheitszeichen vertauschen? $\begin{eqnarray*} G_1 := \{(x,y)\in \mathbb R \times \mathbb R : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x<0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases} \} \end{eqnarray*}$

Vorsicht. Das von dir genannte $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ besitzt keine Umkehrfunktion, da es nicht bijektiv ist. In deiner Schreibweise wieder:

$\begin{eqnarray*} G_1 := \left\{(x,y)\in \mathbb R \times (-1,1) : y=\begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \right\} \end{eqnarray*}$
und der Graph der Umkehrfunktion:
$\begin{eqnarray*} G_1' := \left\{(x,y)\in (-1,1) \times\mathbb R : y=\begin{cases} \frac{x}{1-x}, & \mbox{für } x\ge0 \\ \frac{x}{1+x}, & \mbox{für } x<0 \end{cases} \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von NAF
Wenn ich allgemein eine Umkehrfunktion bestimmen möchte, z. B. für $\begin{eqnarray*} y=\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$
Dann muss ich das doch erst nach x umstellen, bevor ich y einsetzen kann? Oder ist der Zeitpunkt des vertauschens egal?

So ganz klar ist mir nicht, was du meinst, aber falls du das Vertauschen von x und y meinst, dann ja, es ist egal.

Gruß, therisen

05.03.2007, 18:54

NAF

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Ist eine Funktion nicht schon umkehrbar, wenn sie injektiv ist? verwirrt

Ja, ich meinte damit x und y vertauschen.

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