allg Lsg. einer Matrix

22.03.2015, 18:19	Neuling34	Auf diesen Beitrag antworten »
allg Lsg. einer Matrix Hallo, Ich versuche gerade draufzukommen wie man auf die allg. Lösung einer Matrix kommt, allerdings verstehe ich die ganzen erklärungen in diversen Foren nicht, vielleicht kann mir ja hier jemand helfen. Ich soll Ax=b bestimmen. erweitere Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & 0 &-1& -4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nachdem ich Gauß angewandt habe: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -4 & -4 \\ 0 & 2 &3& 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ So wie ich das verstehe muss ich die jetzt Quadratisch machen, also 2x 0 Zeilen einfügen wodurch ich wohl eine spezielle Lösung (-4,4,0,0) bekomme, oder? Aber wie komm ich jetzt auf die allgemeine Lösung? mfg
22.03.2015, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Du meinst nicht "Lösung einer Matrix" sondern "Lösung eines linearen Gleichungssystems". Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, ein Schema hat keine Lösung. Ein Gleichungssystem und insbesondere ein LGS kann eine nichtleere Menge von Lösungen haben. Wenn wir die leere Menge als Lösungsmenge berücksichtigen, hat jedes LGS eine eindeutig bestimmte Lösungsmenge. 2. Gauß-Algoritmus hast Du falsch angewandt. Schritt 1: Ziehe die 1. Zeile 2 mal von der 2. Zeile ab. 3. Die spezielle Lösung ist auch falsch. 4. Du musst nichts "quadratisch machen". 5. Nachdem Du den Gauß-Algorithmus korrigiert und vervollständigt hast, werde ich Dir zeigen, wie man daraus die Lösungsmenge herstellt. 6. Diese Lösungsmenge wird eine spezielle und die allgemeine Lösung beinhalten.
22.03.2015, 19:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Anmerkung: Wenn man die zweite Zeile vom doppelten der ersten abzieht und anschließend die Zeilen vertauscht entsteht fast die von Neuling34 angegebene Matrix.
22.03.2015, 19:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, fast. Aber knapp daneben ist auch vorbei, deshalb fangen wir besser noch einmal von vorn an. Der Witz bei der Geschichte ist ja auch nicht der Algorithmus, sondern die anschließende Interpretation.
22.03.2015, 20:14	Neuling34	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke schon mal. Ich sehe nicht wirklich wo da der Fehler sein soll. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & 4 \\ 2 & 0 &-1& -4 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Erste Zeile 2 und dann die zweite Zeile davon abziehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & 4 \\ 0 & 2 &3& 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und jetzt nochmal Rückwärts, Zweite mit 1/2 multiplizieren und dies von der Ersten abziehn. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&1/2&-2&-2 \\ 0 & 2 &3& 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Erste Zeile 2 ergibt wieder $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -4 & -4 \\ 0 & 2 &3& 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
22.03.2015, 21:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deiner sprachlichen Akrobatik kann ich nicht folgen. Du solltest schon die richtige Notation verwenden. z.B. Z3:=4Z1+(-3)Z3 bedeutet. ersetze (!) Zeile 3 mit obiger Linearkombination.
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23.03.2015, 11:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@Neuling34 Tut mir leid, das ist Murks. Wenn Du etwas von mir lernen möchtest, geht das nur, wenn du sinnvoll mitarbeitest. Im zweiten Schritt hast Du in der 1. Zeile 2 Vorzeichenfehler eingebaut. Ziel des Gaußschen Algorithmus ist, links in der Matrix die Einheitsmatrix herzustellen. Du hast beliebig viele Versuche frei, verlierst aber bei ungeschicktem Vorgehen beliebig viel Zeit durch völlig unnötige Fehler. Erst wenn Du das Zwischenziel erreicht hast werde ich Dir erklären, wie die Lösungsmenge aussieht. Eine der schnellsten Möglichkeiten ist vermutlich: 1. Zeile 2 mal von 2. Zeile abziehen, 2. Zeile durch -2 dividieren, 2. Zeile von 1. Zeile abziehen. Das entspricht dem Standard des Gaußschen Algorithmus, man fängt links oben an und arbeitet sich ganz schnell spaltenweise durch, indem man jeweils 1 auf der Diagonale herstellt, darüber und darunter 0.

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