Ziehen mit Zurücklegen - Gewinnwahrscheinlichkeit

27.03.2015, 16:10

Mathelover

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Ziehen mit Zurücklegen - Gewinnwahrscheinlichkeit

Hallo zusammen,

ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe und habe Probleme, das Problem mathematisch zu formulieren.

Zwei Spieler ziehen abwechselnd eine Kugel aus einer Urne, in der sich eine schwarze und 9 weiße Kugeln befinden. Nach jeder Ziehung wird die Kugel wieder zurück gelegt. Der Spieler, der als erster die schwarze Kugel zieht, hat gewonnen.
Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler?

Also ich hab mal folgende Informationen zusammen gehalten:

Die Wahrscheinlichkeit für eine weiße Kugel ist $\begin{eqnarray*} \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$ , die Wahrscheinlichkeit für eine schware Kugel ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke irgendwie an die negative Binomialverteilung, kann sie aber nicht auf den Satz: Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler? übertragen...

Bin für jeden Hinweis dankbar.
Freude

Freude

27.03.2015, 16:20

Yakyu

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Hi,

du kannst dir überlegen bei welchem Zug der beginnende Spieler gewinnen kann und wie hoch die jeweilige Wahrscheinlichkeit ist, dass er tatsächlich in diesem Zug beginnt. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der Summe dieser Wahrscheinlichkeiten.

Bei der Bildung der Summe sollte dir etwas Bekanntes über den Weg laufen.

Gruß

27.03.2015, 16:31

Mathelover

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Hallo

Also meinst du das etwa so:

Der beginnenden Spieler sei jetzt Spieler A.

Spieler A kann im 1., 3., 5, 7, und 9. Zug gewinnen.

Es gilt für den 1. Zug: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ , d.h. er zieht direkt im ersten Zug die schwarze Kugel. Falls nicht, zieht er eine rote.

Dann zieht Spieler B (Spieler 2) eine rote Kugel. In der Urne befinden sich jetzt noch 7 Kugeln.
Damit gilt für den 3. Zug, die Wahrhscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Für den 5. Zug: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$
7. Zug: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
9. Zug: $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$

Das mit der Summe habe ich nicht verstanden.

EDIT: sorry habe vergessen, dass das ganze mit zurücklegen ist...

_____________________
Die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen und damit zu gewinnen, ist doch im jedem Zug gleich, und zwar: $\begin{eqnarray*} \dfrac{1}{10} \end{eqnarray*}$ , da die roten Kugeln ja immer wieder zurückgelegt werden. Das heißt bei n Ziehungen ist die Wahrscheinlichkeit eine schwarze Kugel zu ziehen gerade $\begin{eqnarray*} \dfrac{n}{10} \end{eqnarray*}$
Aber irgendwie hilft mir das nicht weiter.

27.03.2015, 16:42

Yakyu

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Nein, das ist falsch.

Spiel dir doch einfach ein paar Szenarios mal durch

Spieler gewinnt bei seinem 1. Zug -> 1/10

Spieler gewinnt bei seinem 2. Zug -> 9/10*9/10*1/10

usw.

Wie würdest du die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten aufschreiben? Und fällt was auf?

27.03.2015, 16:51

Mathelover

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Achso ja danke für den Hinweis.

Das sieht dann nach einer geometrischen Verteilung aus?

27.03.2015, 16:54

Yakyu

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Ja genau so sieht es aus.

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27.03.2015, 16:56

Mathelover

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Also ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler gerade:

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} Geo(\frac{1}{10}) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} P(X=n) = \frac{1}{10} \cdot \frac{9}{10}^{n-1} \end{eqnarray*}$

Ist diese Antwort ausreichend?

27.03.2015, 17:16

Yakyu

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Du hast einfach nur hingeschrieben wie die Anzahl der Gesamtzüge verteilt ist.
Die zweite Zeile macht nur Sinn wenn du X = n meinst. Aber:

Die Frage ist doch was die Gewinnwahrscheinlichkeit für Spieler 1 ist.
Demnach ist das überhaupt keine Antwort.

Wie ich dir beschrieben habe, kann man diese Wahrscheinlichkeit berechnen!

27.03.2015, 19:04

Mathelover

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Hmm, irgendwie verstehe ich das nicht so ganz. Also ich weiß jetzt wie meine Zufallsvariable X ("Anzahl schwarzer Kugeln") verteilt ist, und zwar geometrisch. Und du sagst: Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der Summe dieser Wahrscheinlichkeiten.

Wie soll ich den Grenzwert bilden? Muss ich etwa zunächst eine Folge von geometrisch verteilten Zufallsvariablen basteln?

Hoffe du gibst mir noch einen Tipp Freude

Freude

27.03.2015, 21:20

Yakyu

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Der erste Schritt wäre die Summe zu bilden!

Überlegung: Wenn der 1. Spieler im n-ten Zug gewinnt, dann wurden 2(n-1) mal hintereinander weiße Kugeln gezogen. Die Wahrscheinlichkeit wäre also jeweils

$\begin{eqnarray*} p \cdot q^{2(n-1)} \end{eqnarray*}$

mit p = 1/10 und q = 9/10

Summier jetzt diese Wahrscheinlichkeiten über n und du bist fertig.

28.03.2015, 11:46

Mathelover

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Diese Formel gilt doch aber nur, wenn ich die Züge nur auf den 1. Spieler beziehe.
Denn z.B. kann Spieler 1 gewinnt im 3. Zug heißen:
1. Zug: Spieler 1 zieht; Spieler 2 zieht.
2. Zug: Spieler 1 zieht; Spieler 2 zieht.
3. Zug: Spieler 1 zieht;

Dann hätten wir 2(3-1) = 4 Ziehungen von roten Kugeln, also genau die Formel die du angegeben hast.

Aber ich kann das ganze doch auch folgendermaßen interpretieren:

Spieler 1 gewinnt im 3. Zug:

1. Zug: Spieler 1 zieht.
2. Zug: Spieler 2 zieht.
3. Zug: Spieler 1 zieht (und gewinnt)

Dann hätten wir ja nur 2 gezogene rote Kugeln.

Also was stimmt jetzt?

Und das mit der Summe, da komm ich auch nicht so ganz klar.

Also meinst du etwa so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{10}(\frac{9}{10})^{2(i-1)} \end{eqnarray*}$ ?

28.03.2015, 12:18

Yakyu

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Ja versteh nicht wo die Verwirrung entsteht. Entweder du beziehst n auf den Zug des 1. Spielers oder du sagst n ist die Anzahl aller Züge die gespielt wurden. Im ersten Fall kannst du die von mir angegebene Formel verwenden. Im anderen Fall gilt, dass der 1. Spieler nur bei allen ungeraden Zügen gewinnen kann und du kommst auf den selben Fall, da du die Wahrscheinlichkeiten für Spiel zu Ende nach 1, 3, 5, ... Zügen summierst.

Genau das meinte ich mit der Summe! Jetzt ist aber überhaupt keine Beschränkung dafür gegeben WANN der 1. Spieler gewinnt. Also musst du alle möglichen Fälle berücksichtigen und die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der 1. Spieler gewinnt, ist der Grenzwert der Summe für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Diesen Grenzwert zu berechnen dürft machbar sein smile

smile

28.03.2015, 12:32

Mathelover

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edit: rechne es grad nochmal... moment
Ich komme irgendwie nicht drauf.
Habs mit der geometrischen Reihe versucht.

28.03.2015, 13:07

Yakyu

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Geometrische Reihe ist auch richtig. Musst nur vernünftig umformen. Wenn du deine Rechnung hier nicht reinschreibst kann ich dir auch nicht sagen wo der Fehler liegt.

Als Ergebnis müsste 10/19 rauskommen, was dahingehen interessant ist, dass es eine also eine Rolle spielt, ob man zuerst beginnt.

28.03.2015, 13:21

Mathelover

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{10}\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{2(i-1)}<br /> = \frac{1}{10} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left ( \dfrac{9}{10} \right )^{2(i-1)}<br /> = \frac{1}{10} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left ( \dfrac{9}{10} \right )^{2i-2}<br /> = \frac{1}{10} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left ( \dfrac{9}{10} \right )^{2i}\left ( \dfrac{9}{10} \right )^{-2}<br /> = \left ( \frac{9}{10} \right )^{-2}\frac{1}{10} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{9}{10} \right )^{2i} \end{eqnarray*}$

weiter komme ich irgendwie nicht, wollte jetzt die geometrische Reihe anwenden.

28.03.2015, 13:24

Yakyu

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Hi,

etwas umständlich. Du hättest zu Beginn auch einen Index-Shift machen können damit deine Summe bei i = 0 beginnt! Wenn n gegen unendlich geht geht auch n-1 gegen unendlich...

Aber zu deinem eigentlichen Hauptproblem:

$\begin{eqnarray*} a^{2i} = (a^2)^i \end{eqnarray*}$

...

28.03.2015, 13:42

Mathelover

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$\begin{eqnarray*} =\dfrac{10}{81} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left ( \dfrac{81}{100} \right )^i \end{eqnarray*}$

Um den Indexshift komme ich doch trotzdem nicht drum herum oder, i muss ja bei 0 beginnen?

28.03.2015, 14:20

RavenOnJ

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RE: Ziehen mit Zurücklegen - Gewinnwahrscheinlichkeit
Man kann das einfacher lösen, wenn man berücksichtigt, dass, nachdem Spieler A im 1. Zug eine weiße Kugel gezogen hat, die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler B dieselbe ist wie die Gewinnwahrscheinlichkeit von A zu Beginn bzw. die von A dieselbe wie die von B zu Beginn. Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler A, $\begin{align*} P_A \end{align*}$ , ist also $\begin{align*} P_A= \frac 1 {10}+\frac 9{10}\cdot P_B \end{align*}$ . Außerdem ist $\begin{align*} P_A+P_B=1 \end{align*}$ . Das verwurschtelt ergibt $\begin{align*} P_A= \frac {10} {19} \end{align*}$

28.03.2015, 15:47

Mathelover

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RE: Ziehen mit Zurücklegen - Gewinnwahrscheinlichkeit
So endlich habe ich es rausbekommen:

Also es gilt:

$\begin{eqnarray*} =\dfrac{10}{81} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^{n} \left ( \dfrac{81}{100} \right )^i \end{eqnarray*}$

Mit der Indextransformation folgt:

$\begin{eqnarray*} =\dfrac{10}{81} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=0}^{n-1} \left ( \dfrac{81}{100} \right )^{i+1}=\dfrac{10}{81} \lim_{n\to \infty }\sum_{i=0}^{n-1} \left ( \dfrac{81}{100} \right )^{i} \dfrac{81}{100} =\dfrac{1}{10} \dfrac{100}{19}= \dfrac{10}{19} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jetzt stimmt alles Freude

Freude

//Danke für deine alternative Lösungsidee RavenOnJ Freude

Freude

28.03.2015, 15:53

RavenOnJ

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RE: Ziehen mit Zurücklegen - Gewinnwahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von Mathelover
//Danke für deine alternative Lösungsidee RavenOnJ Freude

Freude

Man sollte immer erst mal nach dem Königsweg suchen.

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