Beweis der Formel zur Berechnung eines Umkreisradius im Dreieck

29.03.2015, 15:10	mathe432123	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Formel zur Berechnung eines Umkreisradius im Dreieck Meine Frage: Ich suche einen Beweis der Formel $\begin{eqnarray} r = \frac{abc}{4A} \end{eqnarray}$ die den Radius des Umkreises in einem Dreieck gibt. Es reicht, wenn man von einem gleichschenkligen Dreieck ausgeht. Meine Ideen: Ich habe bis jetzt nur, das der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Mittelpunkt der Umkreises ist.
29.03.2015, 15:16	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Kreiswinkelsatz lässt sich $\begin{align} \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \end{align}$ begründen, das ist eigentlich Bestandteil des (erweiterten) Sinussatzes. Zusammen mit der Flächenformel $\begin{align} A = \frac{ab}{2}\sin\gamma \end{align}$ ist man dann schon am Ziel - falls diese Flächenformel nicht als bekannt vorausgesetzt werden darf, musst du die eben auch noch beweisen.
29.03.2015, 17:05	mathe432123	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, aber wie kommt man auf c/sin(³)=2R? Ich habe auch noch das hier gefunden de.wikipedia.org/wiki/Sinussatz#Beweis, wo steht "benötigt man den bekannten Satz über Peripheriewinkel (Umfangswinkel)". Ich weiß nicht wie ich die Aussage beweisen soll und verstehe auch nicht, was der Satz über Peripheriewinkel besagt und wie er mir hilft.
29.03.2015, 18:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte dir bereits den Link zu dem Satz gegeben - soll ich ihn noch "vorlesen"?
29.03.2015, 19:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier noch eine Lösung ohne Trigonometrie. Zu ihrem Verständnis braucht man den Satz vom Umfangswinkel. [attach]37596[/attach] Betrachte die beiden gekennzeichneten Dreiecke. Außer dem rechten Winkel haben sie noch den Winkel $\begin{align} \varphi \end{align}$ gemeinsam (verwende den Zusammenhang zwischen dem Umfangswinkel und dem Mittelpunktswinkel). Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt eine Beziehung zwischen $\begin{align} r,b,a,h \end{align}$ . Mittels $\begin{align} A = \frac{1}{2} ch \end{align}$ kann $\begin{align} h \end{align}$ eliminiert werden.
30.03.2015, 16:45	mathe432123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mir die Seite schon durchgelesen, allerdings versteh ich das nicht und weiß nicht wie man damit die Formel $\begin{eqnarray} \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R \end{eqnarray}$ beweisen soll. Wäre nett, wenn ihr mir da nochmal helfen könntet, da ich auch anderswo keine gute Erklärung finde.
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30.03.2015, 17:43	mathe432123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs jetzt verstanden, dank dieser Seite mathe-online.at/mathint/trig/i_umkreisradius.html !

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