Erwartungswert Pasch nochmal würfeln

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IrMel Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Pasch nochmal würfeln
Hallo,

ich möchte den Erwartungswert für folgenden Sachverhalt berechnen:

Zwei identische, sechsseitige Würfel sollen geworfen werden. Falls ein Pasch gewürfelt wird, darf nochmal gewürfelt werden. Falls dann wieder ein Pasch gewürfelt wird, darf nochmal gewürfelt werden, usw. Wenn kein Pasch (mehr) gewürfelt wird, werden alle Augensummen zusammen addiert (also auch aus den vorherigen Paschen). Soweit so gut, dafür habe ich bereits herausgefunden, dass dieser bei 8,4 liegt. Aber nun möchte ich die Aufgabe so abändern:
Man darf einen der beiden Würfel um ein Auge erhöhen. Als Beispiel: Wenn eine 3 und eine 4 gewürfelt wird, darf man aus der 3 eine 4 machen, also einen Vierer-Pasch, und nochmal würfeln. Das darf bei jedem Wurf getan werden. Auch, wenn kein Pasch erzielt wird: 1 und 3, wird zu 2 und 3, die "Würfelkette" endet, aber eben mit einer um eins erhöhten Augenzahl.

Ich habe viel dran rumgerechnet und würde gerne wissen, ob mein Modell stimmt:

http://www11.pic-upload.de/31.03.15/dp1av6h8ujh.jpg
(Das Bild ist nochmal im Anhang, falls es hier nicht angezeigt wird)

Also aus dem Bild mit den Kombinationen für zwei Würfel ergibt sich, dass grün die Pasche sind (), blau sind die Kombinationen, die man zu einem Pasch machen kann, indem man den niedrigeren der beiden Würfel um eins erhöht () und rot die restlichen, die zum Stopp der Würfelkette führen ()
Die Durchschnittswerte für die drei Fälle sind die folgenden:
Normaler Pasch:

"Dreh-Pasch": , 1er-Pasch tritt nicht mehr auf.

Weder Pasch, noch "Dreh-Pasch": , wobei die +1 daher kommt, dass wir auch im letzten Wurf noch eine Augenzahl um eins erhöhen dürfen.

Nun habe ich mir folgendes überlegt:

ist der Erwartungswert dafür, weder einen Pasch noch einen Dreh-Pasch zu würfeln. Ich habe mir dann überlegt, wie der Erwartungswert für einen Pasch und einen Drehpasch ist. Also definiere ich Anzahl der Pasche (egal ob durch drehen oder ohne), und habe ich definiert als die Anzahl der echten Pasche , womit die Anzahl der "Dreh-Pasche" darstellt.

Letztendlich habe ich folgende Formel aufgestellt:


Der vordere Summand ist der Fall, dass kein Pasch gewürfelt wird. Die Innere Summe berechnet den Erwartungswert für alle Kombinationen der Anzahl der Pasche (also z). Wenn drei Pasche geworfen werden, berechnet sie die Kombination 3xPasch, 2xPasch+1xDreh-Pasch, 1xPasch+2xDreh-Pasch und 3xDreh-Pasch mit dem Binomialkoeffizienten. Die äußere Summe addiert dann alle auftretenden Pasche zusammen. Leider kann ich mit meinem Rechner nur bis z=25 rechnen und komme als Ergebnis auf 14,1. Der Unterschied zu z=20 ist bei mir jedoch auch nicht mehr zu erkennen. Also kann ich im Durchschnitt eine Augenzahl von 14,1 erwarten, wenn ich die Augenzahl eines der beiden Würfel um eins erhöhen darf.

Kann mir jemand bestätigen, dass ich das Modell richtig aufgestellt habe?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert Pasch nochmal würfeln
Das scheint richtig zu sein, wobei ich mir deine letze Formel nicht im Detail angeschaut habe, denn man kann das einfacher machen. Der Erwartungswert der Augensumme ist

7, falls man einen Pasch würfelt
8, falls man einen Drehpasch würfelt
8, falls man weder einen einen Pasch noch einen Drehpasch würfelt

Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch ist 6/36, für den Drehpasch 10/36 und für den Rest 20/36. Das hast du alles auch heraus. Der Erwartungswerf für die Augensumme, falls man einen Pasch oder einen Drehpasch würfelt, ergibt sich daraus zu:



Die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch oder Drehpasch ist:



Damit ergibt sich insgesamt als Erwartungswert der Augensumme



Die Summen kann man mittels der Formel für die geometrische Reihe exakt bestimmen. Man muss sie nicht mit dem Rechner zu einem Näherungswert aufsummieren.
IrMel Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mensch, so einfach kann das gehen. Danke! smile
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