Term vereinfachen ohne Hornerschema

01.04.2015, 16:28

Viktor89

Term vereinfachen ohne Hornerschema

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche mich gerade an der vollständigen Induktion und bin dabei auf eine Aufgabe gestoßen, bei der folgender Term vereinfacht werden muss:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2\left(n+1\right)^{2}+4\left(n+1\right)^3 }{4} \end{eqnarray*}$

In der Lösung dazu wird dann aus dem Term plötzlich, ohne weitere Erklärung das hier:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)²(n²+4n+4)}{4} \end{eqnarray*}$

und danach dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)²(n+2)²}{4} \end{eqnarray*}$

Wie genau sind die denn auf diese Lösung gekommen?

Meine Ideen:
Bin zwar auch drauf gekommen, das hat allerdings recht lange gedauert:

Erst eine Nullstelle für den Zähler-Term finden (-2), mit dieser dann das Horner-Schema anwenden, danach komme ich auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)²(n+2)²}{4} \end{eqnarray*}$

Nur: wie kommen die auf den Zwischenschritt, anscheinend auch so mühelos?

Danke für eure Antworten!!

01.04.2015, 16:30

IfindU

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RE: Term vereinfachen ohne Hornerschema
Man klammert im ersten Schritt einfach $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ aus, und im zweiten Schritt bemerkt man die binomische Formel $\begin{eqnarray*} (n+2)^2 = n^2 + 4n + 4 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Und damit ist dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac { n^2(n+1)^2}4 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern