Richtungsableitung mehrdimensional- Richtung des stärksten Gefälles |
02.04.2015, 17:56 | Bobby16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtungsableitung mehrdimensional- Richtung des stärksten Gefälles Die Aufgabe lautet wie folgt: Man steht auf einem Hügel der durch folgende Gleichung beschrieben wird: . Man selbst steht im Punkt P=(1,1,8).. In welche Richtung muss man von diesem Punkt aus starten, wenn man in die Richtung des stärksten Gefälles absteigen will, d.h. fur welchen Einheitsvektor ¨ v ist ?vf(1, 1, 8) am kleinsten? Hinweis: Verwenden Sie die Formel des Skalarproduktes fur Vektoren: ¨ u·v = |u||v| cos , wobei der Winkel zwischen den Vektoren u und v ist. Meine Ideen: zuerst habe ich die partiellen Ableitungen gebildet. Dadurch habe ich den Gradient erhalten der wie folgt aussieht: Gradient von f: Jetzt habe ich den Punkt (1,1,8) eingesetzt under erhalte dafür (-2,-4). Wie muss ich jetz hier weiter vorgehen? |
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02.04.2015, 18:53 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eigentlich gibt es hier nichts zu rechnen. ist die Richtung des stärksten Anstiegs. demnach ist die Richtung des stärksten Abstiegs. Aber mal weiter gefragt: welchen Wert hat das Gefälle? |
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02.04.2015, 19:13 | Bobby16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
was meinst du mit welchem Wert hat das Gefälle? mehr als das hab ich leider nicht gegeben |
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02.04.2015, 19:59 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun, wenn du in diese Richtung gehst, dann hat der Weg in (1,1,8) eine Steigung, Gefälle wie jeder andere Weg am Berg auch. die Richtungsableitung in Richtung beträgt: Der erste Vektor ist der Einheitsrichtungsvektor, der zweite der Gradient. |
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03.04.2015, 00:49 | python_15 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum gilt das? |
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03.04.2015, 01:51 | Keq | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grob ausgedrückt gibt dir der Gradient einfach an in welche Richtung die Funktion am stärksten ansteigt. Also auch in welche sie am stärksten abfällt, nämlich in die entgegesngesetzte. Der gradient alleine sagt dir nicht wie viel die funktion in welche richtung fällt oder steigt, lediglich die größte steigung /gefälle und deshhalb bist du eig mit deinem gradient in 1/1 auch schon fertig, weil er dir schon sagt in welche richtung es in 1/1 am steilsten hoch und runter geht |
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03.04.2015, 05:18 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, der folgende Satz lässt sich leicht zeigen: Für eine differenzierbare Funktion zeigt stets in die Richtung des steilsten Anstiegs. Allerdings glaube ich nicht, dass du das hier verwenden sollst, weil der Tipp in eine ziemlich andere Richtung zeigt. Bevor man dir helfen kann, gibt es allerdings noch einiges in deinem Startbeitrag zu klären. Der Text lässt darauf schließen, dass eine Funktion von nach ist, denn nur eine solche Funktion kann einen Hügel beschreiben. Wieso steht das da nicht? Eine Funktion im kann man aber schlecht in auswerten. Wie ist das zu verstehen? Dann noch etwas zur Schreibweise: macht keinen Sinn, was ist hier das . Du meinst wohl . Das ist aber nur nebensächlich. Vorrangig solltest du dich mal um das Dimensionsproblem oben kümmern. Wenn du dich darum gekümmert hast, geht es ja nun um das Problem, für welches (mit Länge ) dann am kleinsten ist und dafür kannst du das für abstraktes mal in deine Formel fürs Skalarprodukt einsetzen. |
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03.04.2015, 09:26 | Bobby16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke für deine Antwort, das mit der Dimension sthet wirklich so in der Angabe, ist dann wahrscheinlich ein Angabenfehler. aber woher weis ich was ich jetzt für v einsezten muss, bzw. welche v's ich da jetzt testen soll :P |
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03.04.2015, 09:38 | python_15 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit 8 ist wohl der Funktionswert gemeint, also ist der Punkt am Graphen . |
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03.04.2015, 16:47 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gute Idee, Python15, danke. @Bobby16: Setz zunächst mal beliebiges v dort ein. Also einfach einen Vektor, der v heißt und Länge 1 hat. |
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03.04.2015, 17:30 | Guest10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das wäre dann: Was hilft mir das aber? |
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03.04.2015, 17:47 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Falls ist, dann ist das richtig. Insbesondere hängt das ja nun nur noch von dem Cosinusterm ab und von sonst nichts. Für welchen Winkel Alpha wird denn der Cosinusterm am kleinsten? |
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03.04.2015, 17:55 | Guest10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für . Sehe aber noch immer nicht worauf das hinausläuft... |
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03.04.2015, 17:56 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
0 ist also kleiner als -1 ? Edit: Übrigens wäre es schön, wenn du bei einem Namen bleibst und ihn nicht im Laufe des Threads änderst. |
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03.04.2015, 21:51 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn der Winkel zwischen Gradient und Richtung ist, dann ist das Skalarprodukt =Steigung = Null ( w.g. cos(90°) = 0 ) D.h. mein Weg am Hügel ist "eben" auch eine Köhenlinie genannt. Ist der Winkel dann ist das Skalarprodukt (w.g. cos(180°)=-1) minimal. Und 180° bedeutet ja - wie schon bekannt - die Gegenrichtung zum Gradienten. Das müsste doch soweit einleuchtend sein. |
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