Wurzel aus pi ist das irrational ?

03.04.2015, 14:50

marin_zi

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Wurzel aus pi ist das irrational ?

Hallo

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist Irrational.
Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ ?

Irrational oder Rational ? und warum ?

Dasselbe gilt für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$
Irrational oder Rational ? und warum ?

Grüße

03.04.2015, 14:52

IfindU

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RE: Wurzel aus pi ist das irrational ?
Natürlich alles irrational. Angenommen eine der Zahlen wäre rational, dann kann man sie darstellen als $\begin{eqnarray*} x = \frac p q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .. Was ist dann mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ?

03.04.2015, 15:10

marin_zi

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Also da hab ich jetzt nichts verstanden. Bzw sehe ich da noch keine Begründung.
Wieso kann die Wurzel einer Irrational Zahl nicht auch Rational sein ?

03.04.2015, 15:13

IfindU

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...Weil Quadrate rationaler Zahlen wieder rational sind. Das sieht man mit meiner Argumentation um einen Satz vervollständigt.

03.04.2015, 15:20

marin_zi

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Zitat:

Original von IfindU
...Weil Quadrate rationaler Zahlen wieder rational sind. Das sieht man meine Argumentation um einen Satz vervollständigt.

hmmmmmmmm

verwirrt

was interessieren mich die Quadrate rationaler Zahlen ? wo kommen die in welcher Überlegung vor ?

Nö verstehe leider kein Wort und auch keine Argumentation.

03.04.2015, 15:32

IfindU

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Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt \pi \end{eqnarray*}$ ist rational. Dann ist auch sein Quadrat rational. Das Quadrat davon ist nach Definition der Wurzel aber einfach pi. Damit ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rational, eine falsche Aussage. Daher kann die Wurzel von pi nicht ratinoal sein.

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03.04.2015, 22:34

marin_zi

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Zitat:

Original von IfindU
Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt \pi \end{eqnarray*}$ ist rational. Dann ist auch sein Quadrat rational.

Warum ? Mit welcher überlegung kann ich das sagen ?

$\begin{eqnarray*} 4 \pi \end{eqnarray*}$ ist irrational. Warum ? Eine irrationale Zahl multipliziert mit einer rationalen Zahl ist irrational. Ist das immer so ? Aber warum ?

$\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ das ist jetzt wieder rational. Obwohl es ja irrationale Zahlen sind ?

Aber $\begin{eqnarray*} \sqrt { \sqrt 2} * \sqrt { \sqrt 2} \end{eqnarray*}$ st irrationale obwohl ich auch 2 irrationale zahlen multipliziert habe.

Ich verstehe das wirklich nicht. unglücklich

unglücklich

03.04.2015, 23:31

Iorek

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Der Punkt ist, das hier zwei rationale Zahlen miteinander multipliziert werden bzw. das Quadrat einer rationalen Zahl gebildet wird. Mathematisch gesprochen: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper, also ist das Produkt zweier rationaler Zahlen wieder eine rationale Zahl.

Bei den irrationalen Zahlen passt das nicht, wie du ja selber mit zwei Beispielen schon nachgerechnet hast.

03.04.2015, 23:41

HAL 9000

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@marin_zi

Viele deiner häufigen "warum, warum" erledigen sich, wenn du dich mal mit dem Prinzip des indirekten Beweises vertraut machst - denn nichts anderes ist z.B. das hier

Zitat:

Original von IfindU
Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt \pi \end{eqnarray*}$ ist rational. Dann ist auch sein Quadrat rational. Das Quadrat davon ist nach Definition der Wurzel aber einfach pi. Damit ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rational, eine falsche Aussage. Daher kann die Wurzel von pi nicht ratinoal sein.

04.04.2015, 02:07

marin_zi

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Zitat:

Original von HAL 9000
@marin_zi

Viele deiner häufigen "warum, warum" erledigen sich, wenn du dich mal mit dem Prinzip des indirekten Beweises vertraut machst - denn nichts anderes ist z.B. das hier

Zitat:

Original von IfindU
Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt \pi \end{eqnarray*}$ ist rational. Dann ist auch sein Quadrat rational. Das Quadrat davon ist nach Definition der Wurzel aber einfach pi. Damit ist $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ rational, eine falsche Aussage. Daher kann die Wurzel von pi nicht ratinoal sein.

Das versuche ich ja aber ich verstehe es nicht.

Ich habe mir echt viele Sachen durchgelesen und Videos angeschaut. Aber trotzdem. Niergedends wird auf die Frage eingegange.
Ich nehme mal das Beispiel her:
http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_...us_2_bei_Euklid

Aber der Zeile Frage ich mich ?

Da $\begin{eqnarray*} 2q^2 \end{eqnarray*}$ eine gerade Zahl ist, ist auch $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade. Daraus folgt, dass auch die Zahl p gerade ist.

Warum kann ich das sagen ? Warum gilt das für alle natürlichen Zahlen ?
Aus $\begin{eqnarray*} 2q^2 = p^2 \end{eqnarray*}$ kann ich noch was schließen. Aber wieso kann ich aus $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade schließen das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ist ?

Grüße

04.04.2015, 08:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von marin_zi
Aber wieso kann ich aus $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade schließen das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ist ?

Auch das ist wieder ein indirekter Beweis:

Voraussetzung: $\begin{align*} p^2 \end{align*}$ ist gerade.

Behauptung: $\begin{align*} p \end{align*}$ ist gerade.

Indirekter Beweis: Angenommen, die Behauptung ist falsch, dann gibt es mindestens ein ungerades $\begin{align*} p \end{align*}$ . Dann ist aber auch $\begin{align*} p^2 \end{align*}$ ungerade (wenn du auch noch die "Rechnung" dazu brauchst: $\begin{align*} p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1 \end{align*}$ ), was der Voraussetzung widerspricht. Also war die Annahme "p ungerade" falsch, und die eigentlich Behauptung ist somit bewiesen.

----------------------

Solche vergleichsweise "kleinen" Aussagen kommen im größeren Rahmen ständig vor, und deswegen macht man natürlich nicht jedesmal eine solche Staatsaktion wie hier eben - das sollte (mit etwas Training) nach Möglichkeit im Kopf ablaufen.

04.04.2015, 13:39

marin_zi

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von marin_zi
Aber wieso kann ich aus $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade schließen das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ist ?

Auch das ist wieder ein indirekter Beweis:

Voraussetzung: $\begin{align*} p^2 \end{align*}$ ist gerade.

Behauptung: $\begin{align*} p \end{align*}$ ist gerade.

Indirekter Beweis: Angenommen, die Behauptung ist falsch, dann gibt es mindestens ein ungerades $\begin{align*} p \end{align*}$ . Dann ist aber auch $\begin{align*} p^2 \end{align*}$ ungerade (wenn du auch noch die "Rechnung" dazu brauchst: $\begin{align*} p^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1 \end{align*}$ ), was der Voraussetzung widerspricht. Also war die Annahme "p ungerade" falsch, und die eigentlich Behauptung ist somit bewiesen.

----------------------

Solche vergleichsweise "kleinen" Aussagen kommen im größeren Rahmen ständig vor, und deswegen macht man natürlich nicht jedesmal eine solche Staatsaktion wie hier eben - das sollte (mit etwas Training) nach Möglichkeit im Kopf ablaufen.

Hallo

Ohja danke! jetzt beginnt das ganze schön langsam Sinn zu machen smile

smile

gibt es irgendwo eine Sammmelstelle für indirekter Beweis wo solche Überlegungen gesammelt sind ? Das man sowas mal durchüberlegen kann und eventuell "üben" kann bzw dann im Kopf hat. Ich meine das sind ja die Grundlagen für sowas. Und scheint wohl wirklich das Thema zu sein wo ich noch ziemliche Lücken habe.
Wenn ich mir so Bücher durchlese mit Beweisen wird das nie bis zum ende durchgedacht oder am Anfang mal erklärt und schon so Kleinigkeiten vorausgesetzt. Natürlich ist es schwer nichts vorauszusetzten und alles zu zeigen aber irgendwo/irgendwann muss man ja mal anfangen und dann aufbauend weiter machen. Im welchem kapitel macht man das denn ?

Grüße

04.04.2015, 14:29

Elvis

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Der Beweis für die Irrationalität von $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ stammt von Euklid, der wahrscheinlich im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria gelebt hat. Heutzutage lernt man das, wenn man anfängt, sich mit Zahlen zu beschäftigen, normalerweise in der "elementaren Zahlentheorie".
Einfache Beweistechniken lernt man schon in der Schule kennen. Zu Beginn des Studiums muss man sich mit der mathematischen Sprache vertraut machen. Dazu sind Vorlesungen und Übungen da. Also: Zuhören und Üben. Lehrer

Lehrer

Der "Beweis durch Widerspruch" ist nichts anderes als die aussagenlogische Äquivalenz $\begin{eqnarray*} ( A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$ .

04.04.2015, 23:21

marin_zi

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Hallo

Ja genau elementaren Zahlentheorie damit beschäftige ich mich gerade und lese viel und kommt das auch vor und das mit Euklid war mir bekannt. Daher kommen ja meine Fragen und Überlegungen. Aber wie erwänt setzen die Bücher meiner Meinung nach schon einiges voraus. Wenn ich mir so Skripten von Unis durchlese komme ich meistens dann nicht weiter, wenn mit "hieroglyphen" etwas beschrieben wird, das was sich nacher als ganz "einfach" herausstellt smile

smile

.

Deswegen suche ich ja meistens nach etwas was den Anfang erklärt. Das kommt meistens viel zu kurz unglücklich

unglücklich

. Auch über diese "kryptische" Schreibweise.

Ja vielleicht sollte ich mich mal in eine Vorlesung hineinsetzen. Aber derzeit ist das aus finanzieller, zeitlicher Sicht und auf Grund meiner Arbeit nicht möglich. Ich mache das halt privat kaufe Bücher gucke Vorlesungsvideos und lese viel weil mich sowas halt interessiert und ich spannend finde sich allerhand zu überlegen smile

smile

. Also wenn wer tipps für Bücher hat oder andere Informatiosnquellen über das Thema. Immer wilkommen smile

smile

Grüße

05.04.2015, 11:31

Elvis

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Mathematik zu studieren ist schon fast unmöglich, ein Selbststudium ist bestimmt noch schwieriger. Aber es soll schon Mathematiker gegeben habe, die Autodidakten waren, vor langer langer Zeit.

Grundlage jeder modernen Mathematik ist die Mengenlehre und die Logik. Für Beweistechniken ist die Logik (Aussagenlogik und Prädikatenlogik) unverzichtbar.

06.04.2015, 01:30

marin_zi

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Ach ich finde ich bin für meine Verhältnis schon recht weit gekommen. Viele schauen Abends halt RTL Pro7 etc. Ich schau halt lieber auf youtube eine Vorlesung an da gibt es einiges oder ich lese. Und wenn man das regelmäßig macht geht da einiges weiter.

Hab mir mal ein Buch gekauft mit Klasur und Übungsaufgaben und konnt doch einiges lösen. smile

smile

.
Auch Klasuarbeiten von der Uni, kann man ja leicht besorgen. Die sind aber teilweise etwas näher an der Praxis und besser vorstellbar. Funktionetheorie und so ...

Zahlentheorie ist halt schon sehr abstrakt. Aber ich sag mal so, mein Vorteil ist, ich habe Zeit und keine Zeitdruck.

Bücher über Arithmetik scheinen auch noch einfacher für Einsteiger zu sein smile

smile

Grüße

06.04.2015, 02:05

Yakyu

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Zitat:

Original von Elvis
Mathematik zu studieren ist schon fast unmöglich

Hi sorry für OT aber was meinst du damit? ^^ Klingt leicht übertrieben, hier tummeln sich doch einige Studenten und Absolventen rum.

An marin_zi:

Die "kryptische" Schreibweise ist einfach nur Notation und es gibt einen guten Grund dafür, dass diese in der Mathematik benutzt wird anstatt alles in "Prosa" zu schreiben. Wenn du dich mit Mathematik außerhalb des Schulniveaus befassen willst solltest du dich insbesondere mit dieser befassen und vertraut machen. Es gibt sehr viele Grundlagen-Bücher in denen diese Notation ausgiebig erklärt wird, sobald sie eingeführt wird. Eventuell solltest du da nach Büchern schauen, die nicht direkt für den Mathematik-Studiumanfänger geschrieben sind, sondern auf Leute ohne besondere Vorkenntnisse abzielt. Das Beweise nicht zu Ende gedacht werden finde ich persönlich ein wenig zu vorwurfsvoll. In Beweisen wird im Grunde von den Autoren nur das "ausgelassen" oder nicht "zu Ende geschrieben", was aus der Sicht der Autoren für den Leser klar bzw. mit wenig geistigem Aufwand (dem Niveau des Inhalts natürlich entsprechend) verständlich sein soll.

06.04.2015, 11:38

Elvis

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Fast alle Menschen, d.h. alle bis auf endlich viele Menschen, studieren nicht Mathematik. Das beweist meine Behauptung. q.e.d. smile

smile

06.04.2015, 15:04

marin_zi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Yakyu

Zitat:

Original von Elvis
Mathematik zu studieren ist schon fast unmöglich

Hi sorry für OT aber was meinst du damit? ^^ Klingt leicht übertrieben, hier tummeln sich doch einige Studenten und Absolventen rum.

An marin_zi:

Die "kryptische" Schreibweise ist einfach nur Notation und es gibt einen guten Grund dafür, dass diese in der Mathematik benutzt wird anstatt alles in "Prosa" zu schreiben. Wenn du dich mit Mathematik außerhalb des Schulniveaus befassen willst solltest du dich insbesondere mit dieser befassen und vertraut machen. Es gibt sehr viele Grundlagen-Bücher in denen diese Notation ausgiebig erklärt wird, sobald sie eingeführt wird. Eventuell solltest du da nach Büchern schauen, die nicht direkt für den Mathematik-Studiumanfänger geschrieben sind, sondern auf Leute ohne besondere Vorkenntnisse abzielt. Das Beweise nicht zu Ende gedacht werden finde ich persönlich ein wenig zu vorwurfsvoll. In Beweisen wird im Grunde von den Autoren nur das "ausgelassen" oder nicht "zu Ende geschrieben", was aus der Sicht der Autoren für den Leser klar bzw. mit wenig geistigem Aufwand (dem Niveau des Inhalts natürlich entsprechend) verständlich sein soll.

Hallo

Nein das war nicht als Vorwurf zu sehen, sorry mir ist schon klar dass man irgendwann mal sagen muss, dieses Wissen setze ich Vorraus sonst wird die Erklärung zu lange.
Aber irgendwo muss ja das Vorrausgesetzte erklärt sein. Daher meinte ich ich suche nach dem Anfang.

Kannst du ein Grundlagen-Bücher empfehlen oder nennen? Oder nach Begriffen wonach am besten ich suchen kann ?

Das Problem ist ich verstehe die Notation bzw. das was damit ausgesagt werden soll erst dann, wenn ich es schon verstanden habe was damit ausgesagt werden soll. smile

smile

Dann kann ich die Notation auch wieder hinschreiben, ich habs ja dann verstanden. Aber wenn ich nur die Notation lese dann denke ich mir erstmal hmmmmmm ok ...
Wo finde ich jetzt im Internet eine Erklärung was damit gesagt werden soll smile

smile

. Das finde ich dann irgendwo und ist meistens dann gar nicht so schwer.

Ich nenne jetzt mal ein einfaches Beispiel.
Ich habe ein ganz altes Mathemathik-Script 1950-1960 für die Uni vom einem Trödelmarkt. "Arithmetik und euklidische Geometrie"

Grundlagen:
Kommutativgesetz, Assoziativgesetz.
Das wird für Addition und Multiplikation erklärt auch ganz kurz ohne Prosa zu schreiben.

Mit kleinen Skizze: man überlegt sich einen Strick länge 3cm und hängt daran einen Strick mit 2cm. Man sieht es ist egal ob ich zuerst 3cm und 2cm zeichne oder 2cm und 3cm zeichne.
Das wird noch etwas forumliert. Und man überlegt sich man könnte ja sich auch vorstellen eine Karte mit 2 Strichliste 3 Striche auf der einen Karte 2 auf der anderen und die Addition ist nichts
anderes als "man streicht einen Strich von der einen Liste und überträgt ihn auf die andere Liste". Ich sag mal Mathematik aus der Unterstufe nur das man das nicht so "formuliert".

Das gleiche wird mit der Multiplikation gezeigt. Auf einem karietem Blatte zeichnet man 2 * 3 Punkte man dreht es um 90 Grad es sind jetzt 3*2 Punkte ...
Und so überlegt man sich recht bildlich jeden Schritt und es kommen immer weiter überlegungen dazu. Leider ist das Skriptum nicht vollständig unglücklich

unglücklich

es fehlen Seiten und es sind Kaffeeflecken drauf.

Dann kommen Überlegungen wo das alles gilt bzw was alles erfüllt sein muss damit das gilt usw. Man stellt sich die Natürlichen Zahlen als Graphen vor, jedes nachfolgende Element ist um 1 erhöt.
Man beginnt mit 0 usw usw man streiten im Kopf ob die 0 dabei ist oder nicht usw usw. Man definiert am Ende allerhand Definitionen man denkt darüber nach was alles Definiert sein muss
(also man muss ja sich mal festlegen damit alle vom selben reden und es gleich machen),stellt Gesetzte und Regeln fest. Aber eingetlich recht "einfach" aufgebaut.

Wenn ich das nun mit einem Buch von 1972,2000 und 2002 und Skripten vergleiche, dann sind für das selbe Thema bei den "Grundlagen" gerade mal bei dem Them Mengen skizzen dabei.
Und ab Seite 7 gehts los mit.
Defintion: Ein Körper ist....
(und da gehts los, ich frage ok wozu muss man jetzt auf einmal Körper definieren? geht überhaupt nicht hervor aber gut akzeptiere ich mal und lese, weiter ist halt Defintion.)
dann gehts los.

Defintion: Balbla
Sei A blabla blabl ... dann gilt. daraus folgt -> ...

Defintion2: Balbla
Sei A blabla blabl ... dann gilt. daraus folgt -> ...

Dann stehen Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Neutrales Element, inverses Element, die sind einfach mal da. Ok kann man von mir aus noch vorraussetzen aus der Unterstufe.
Aber bei "Grundlagen" naja aber ok.

Und dann kommt:
http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29

Und das wird nur mehr mit:
Defintion 1.1.2:
Satz 1.1.2: daraus folgt...
Beweis: 1.1.2
Bemerkung 1.1.2

Defintion 1.1.3:
Satz 1.1.3: daraus folgt...
Beweis: 1.1.3
Bemerkung 1.1.3

Defintion 1.1.4:
Satz 1.1.4: daraus folgt...
Beweis: 1.1.4
Bemerkung 1.1.4

Keine skizzen keine erklärung wozu warum weshalb. Und es heißt "Grundlagen der Anaylsis". Und mit der Notation beschäftig man sich mal 2 Seiten.

Und dann liest man was von Ringen und irgendwas unitärem:

"Ein kommutativer unitärer Ring, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper, wenn in ihm jedes von Null verschiedene Element ein Inverses bezüglich der Multiplikation besitzt."
kommutativer unitärer Ring
Nullring

-----------
"kommutativer" da kann ich noch erraten um was es sich handeln eventuell handel soll. Aber den Rest der Wörter habe ich in der Grundschule noch nie gehört.
-----------

"Ring mit Eins (unitärer Ring)
Hat die Halbgruppe zusätzlich ein (beidseitiges) neutrales Element 1, ist also ein Monoid, dann nennt man einen Ring mit Eins oder unitären Ring."

-----------------
unitären, (beidseitiges) neutrales Element ... äää
Monoid äää ok was ist das wieder ? -> google
-----------------

Schiefkörper ?? -> google

Und das wird meistens bei den "Grundlagen" vorrausgesetzt oder soll man verstanden haben. smile

smile

Nur wird sowas in den alten Skripten nicht erwähnt..
Am Ende habe ich mehr Fragen als das Buch gestellt und beantwortet hat hihi.

Also nochmal die Frage kann jemand Grundlagen-Bücher empfehlen oder nennen bzw Begriffen nach denen man suchen kann ?

Grüße

06.04.2015, 18:35

Elvis

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Ja, das habe ich versucht, als ich sagte: Grundlagen der modernen Mathematik sind Mengenlehre und Logik.
Ich empfehle die "Einführung in die Mengenlehre" von Oliver Deiser, Springer Verlag. Mit einer Empfehlung zur Logik kann ich nicht dienen, denn ich glaube, das Notwendige lernt man nur im Studium. Mathematik und Logik sind sehr umfangreich, und man braucht zu Anfang nur wenig davon.
Nach der Mengenlehre kommen sofort Mengen mit Strukturen, und da ist man in der Algebra und Topologie, am Anfang steht meist die Lineare Algebra und die Analysis.
In der Mathematik des 19. Jahrhunderts sah das alles noch ganz anders aus, da halte ich Felix Klein "Vorlesungen zur Geschichte der Mathematik des 19. Jahrhunderts" für empfehlenswert (das gibt es auf dem GDZ-Server : https://gdz.sub.uni-goettingen.de/gdz/ . Ich weiß aber nicht, ob das für Anfänger lesbar ist).

07.04.2015, 17:05

marin_zi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Ah ok ok alles klar.

Hey hey was ist denn das für ein Cooler Server. Big Laugh

Big Laugh

Danke danke!

Irrational Zahlen als Kettenbruch darzustellen. Da kann man sich schon wieder etwas mehr vorstellen.

Grüße

07.04.2015, 18:10

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Server GDZ (Göttinger Digitalisierungszentrum) ist sehr zu empfehlen. Enthält zur Zeit 6140 digitalisierte Mathematik-Bücher, -Zeitschriften und-Artikel und auch viele tausend andere Werke. Nur leider keine neue Literatur, daran müssen die Autoren und Verlage erst noch ein wenig Geld verdienen.

Zahlentheoretische Arbeiten von Gauß, Dedekind, Hilbert und anderen sind auch dort zu finden - nicht leicht zu verdauen, aber sehr nahrhaft.

10.04.2015, 16:41

marin_zi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nö ich finde die Seite super nicht einfach zu lesen vor allem die Geometrie-Sachen, da steht ja alles nur in Worte da. smile

smile

Aber schön langsam komme ich drauf wie die ganzen Überlegungen Definitionen entstanden sind. Und nicht einfach wir definieren erst mal und los gehts.

Jetzt gibts ja auf einem Zahlenstrahl mit rationallen und irrationalen (ich hoffe das nennt man zu) irgendwo die Wurzel aus 2. Und die hat 2 Nachbarn. Ist der Nachbar eine rationale Zahl ? oder irrational ?
Und kann man das überhaupt sagen ? Wenn ich einen Nachbarn habe dann habe ich ja dazwischen wieder unedliche viele Zahlen also ich finde ja keinen Nachbarn?
Das geht ja in die Richtung zu der Überlegung irgendwo aus einem der Bücher mit Abzählbar und überabzählbar.
Man hat die natürlichen Zahlen undedlich viele. Und das schon recht viel aber es sind ja zwischen den Natürlichen Zahlen die rellen Zahlen. Zwischen 1 und 2 sind ja wieder unedliche viele und ...

Wie dicht sind den die Irrationalen Zahlen nebeneinander ? Gibts dazu auch Überlegungen und wie heißen die dann ?
Oder laufe ich da schon wieder zuweit nachvorne und sollte mir erst mal was anderes ansehen um das zu verstehen ?

Grüße

10.04.2015, 16:52

ralfkannenberg

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzel aus pi ist das irrational ?

Zitat:

Original von marin_zi
Hallo

$\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist Irrational.
Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\pi} \end{eqnarray*}$ ?

Irrational oder Rational ? und warum ?

Hallo Martin,

da sind ja jetzt viele Tipps gekommen, die den Thread aufgebläht haben. Ich erlaube mir, nachdem die Tipps genannt wurden, Dir nun eine ganz einfache und hoffentlich auch verständliche Version zu geben:

Wir nehmen an, dass die Wurzel aus pi nicht irrational sei. Dann wäre sie aber rational.
Das Quadrat rationaler Zahlen ist aber als Produkt zweier rationaler Zahlen ebenfalls rational, im Widerspruch dazu, dass die Kreiszahl pi irrational ist.

Hast Du zu dieser Argumentation noch eine Frage ? Wenn nein:

Zitat:

Original von marin_zi
Dasselbe gilt für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{2} \end{eqnarray*}$
Irrational oder Rational ? und warum ?

... dann führe bitte die analoge Argumentation für die vierte Wurzel aus 2, also für Deine 2.Frage, durch.

Freundliche Grüsse, Ralf

11.04.2015, 14:55

marin_zi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzel aus pi ist das irrational ?
Hallo

Ja das eigentliche Thema ging etwas verloren. Und beim gesamten Thema fühle ich mich nich ein bisschen wackelig. Ich kann mich nie entscheiden Beweißt man jetzt etwas direkt oder indirekt.
Deswegen versuche ich es erstmal zu überlegen ob man das direkt Beweisen kann, geht das nicht gucke ich ob ich indirekt weiter komme smile

smile

.

Ich hab mir das schon durch den Kopf gehen lassen.
Z.b $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\pi} \end{eqnarray*}$ müsste mit der gleichen Argumentation beweisbar sein.

Wir nehmen an, dass die 3 Wurzel aus pi rational ist. Also ist erstmal $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\pi} = x \end{eqnarray*}$ (weil ich nicht weiß wie man das besser schreiben soll.) Dann wäre aber auch $\begin{eqnarray*} x \cdot x \cdot x \end{eqnarray*}$ rational mit der gleichen arguemntation wie oben. Wir wissen aber bereits das $\begin{eqnarray*} {\pi} \end{eqnarray*}$ irrational ist.

Das selbe gilt für $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt{2}}=x \end{eqnarray*}$ x sei rational dann wäre $\begin{eqnarray*} x \cdot x = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ rational aber auch hier wissen wir bereits das es nicht so ist.

Ein Seite davor hat mir Hal 9000 gezeigt wie man indirekt beweißt das gilt: $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade -> $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ?

Das kann man aber auch direkt Beweise meine ich. Ich kann sagen so ähnlich wie in seinem kleinem Rechenbespiel:
Ein gerade Zahls ist irgendwas wie: $\begin{eqnarray*} p = 2 \cdot k \end{eqnarray*}$ . Das sind alles gerade Zahlen (durch 2 teilbar).Jetzt mache ich so ähnliche Schritte:

$\begin{eqnarray*} p^2 = (2 \cdot k)^2=(2 \cdot k) \cdot (2 \cdot k) = 2 \cdot 2 \cdot k^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ wieder durch 2 teilbar und somit gerade. Und ich weiß auch $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ ist sogar durch 4 teilbar. Der springende Punkt bei der Überlegung ist aber p muss eine Natürliche Zahl sein.

Stimmt soweit alles?

Nur wie erwähnt die Entscheidung wann ich inderekt oder direkt Beweis anwenden ansetzten muss/soll finde ich derzeit nur durch probieren raus. Wenn es direkt nicht geht versuche ichs mal, ob ich indrekt weiter komme ... Big Laugh

Big Laugh

Grüße

15.04.2015, 16:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzel aus pi ist das irrational ?

Zitat:

Original von marin_zi
Ein Seite davor hat mir Hal 9000 gezeigt wie man indirekt beweißt das gilt: $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ gerade -> $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ?

Das kann man aber auch direkt Beweise meine ich. Ich kann sagen so ähnlich wie in seinem kleinem Rechenbespiel:
Ein gerade Zahls ist irgendwas wie: $\begin{eqnarray*} p = 2 \cdot k \end{eqnarray*}$ . Das sind alles gerade Zahlen (durch 2 teilbar).Jetzt mache ich so ähnliche Schritte:

$\begin{eqnarray*} p^2 = (2 \cdot k)^2=(2 \cdot k) \cdot (2 \cdot k) = 2 \cdot 2 \cdot k^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ wieder durch 2 teilbar und somit gerade. Und ich weiß auch $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ ist sogar durch 4 teilbar. Der springende Punkt bei der Überlegung ist aber p muss eine Natürliche Zahl sein.

Damit beweist du (wieder) nur

$\begin{align*} p~\mbox{gerade}\; \Rightarrow\; p^2~\mbox{gerade} \end{align*}$ ,

aber nicht

$\begin{align*} p^2~\mbox{gerade}\; \Rightarrow\; p~\mbox{gerade} \end{align*}$ .

Du darfst nicht nur gerade $\begin{align*} p \end{align*}$ betrachten und von vornherein ausschließen, dass es nicht ggfs. andere (dann also ungerade) $\begin{align*} p \end{align*}$ gibt, wo $\begin{align*} p^2 \end{align*}$ gerade ist.

Ein (anderes) Beispiel, um diesen Fehlschluss zu verdeutlichen: Es gilt

$\begin{align*} p~\mbox{ist durch 3 mit Rest 1 teilbar}\; \Rightarrow\; p^2~\mbox{ist durch 3 mit Rest 1 teilbar} \end{align*}$ ,

der Beweis ist einfach: $\begin{align*} p \end{align*}$ besitzt nach Voraussetzung die Struktur $\begin{align*} p=3k+1 \end{align*}$ mit einer ganzen Zahl $\begin{align*} k \end{align*}$ . Dann ist

$\begin{align*} p^2 = (3k+1)^2 = 9k^2+6k+1 = 3(3k+2)+1 = 3k'+1 \end{align*}$ , letzteres wenn man $\begin{align*} k':=3k+2 \end{align*}$ setzt.

Daraus aber jetzt zu schlussfolgern, dass auch

$\begin{align*} p^2~\mbox{ist durch 3 mit Rest 1 teilbar}\; \stackrel{?}{\Rightarrow}\; p~\mbox{ist durch 3 mit Rest 1 teilbar} \end{align*}$

gilt, ist falsch: Dazu muss man nur $\begin{align*} p=2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} p^2=4 \end{align*}$ betrachten.

16.04.2015, 20:41

marin_zi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wurzel aus pi ist das irrational ?
Hi

Oh ja vielen danke für die richtig Stellung geschockt

geschockt

Da hab ichs mir doch viel zu einfach gemacht.

Grüße

20.04.2015, 17:41

Kreis

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Fast schon Exkurs

Zitat:

Original von Elvis
Der "Beweis durch Widerspruch" ist nichts anderes als die aussagenlogische Äquivalenz $\begin{eqnarray*} ( A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A) \end{eqnarray*}$ .

Das nennt man ("Beweis durch) Kontraposition".

Ein "Beweis durch Widerspruch" ist was anderes.... unglücklich

unglücklich

unglücklich

Viele Grüße

23.04.2015, 21:33

marin_zi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Ohja das war ein guter Hinweis ich hab das noch gar nicht so unterschieden.

Grüße

1

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