Vektorraum:Polynom & Zufallsgrößen

05.04.2015, 16:42

winki2008

Vektorraum:Polynom & Zufallsgrößen

Hallo, folgende Sache:

Zuerst zu a)

also ein Polynome 2 Grades wird ja grundsätzlich so gebildet:

$\begin{eqnarray*} p_{2}(x) =\sum\limits_{n=0}^{2} a_{n} x^{n} =a_{0} x^{0}+ a_{1} x^{1}+a_{2} x^{2}=a_{0} 1 + a_{1} x+a_{2} x^{2} \end{eqnarray*}$ , wobei die Koeffizienten ungleich 0 sind

Könnte man als inneres Produkt so auffassen:

$\begin{eqnarray*} p_{2}(x) =\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x \\ x^{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre das dann nicht 3 Dimensional?

05.04.2015, 17:50

Helferlein

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Richtig: Der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich n hat die Dimension n+1

05.04.2015, 20:15

Dopap

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RE: Vektorraum:Polynom & Zufallsgrößen
$\begin{eqnarray*} p_{n}(x) =\sum\limits_{j=0}^{n} a_{j} x^{j} \end{eqnarray*}$

Zitat:

wobei die Koeffizienten ungleich 0 sind

es genügt, wenn $\begin{eqnarray*} a_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

06.04.2015, 09:19

winki2008

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Danke

zu b)

kann man sagen, meine Grundgesamtheit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ besteht aus N (beliebiger aber fester Wert) Elemente...

Die Menge aller Zufallsgrößen: $\begin{eqnarray*} \left\{ X_{1}, X_{2},....X_{N}\right\}=X \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} E(X)=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das, wenn ja was können wir daraus schließen?

Angenommen: N=2

$\begin{eqnarray*} E(X_1,X_2)=0 \end{eqnarray*}$

dann sollte bei Vektoren auch dies gelten?

$\begin{eqnarray*} E(X_1+X_2)=E(X_1)+E(X_2)=X_1 \cdot f(x)_1+X_2 \cdot f(x)_2=0 \end{eqnarray*}$

oder wie macht man das?

06.04.2015, 09:56

Helferlein

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Da es in dem nicht genannten Teil b offensichtlich um ein stochastisches Problem geht, verschiebe ich die Frage in den entsprechenden Bereich.
Da hast Du mehr Chancen jemanden zu finden, der Dir weiterhelfen kann.

06.04.2015, 10:19

winki2008

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Angabe, vergessen...sorry

[attach]37654[/attach]

08.04.2015, 14:55

winki2008

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Hat jemand eine Ahnung, was bei b) gemeint ist?

11.04.2015, 13:26

winki2008

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RE: Vektorraum:Polynom & Zufallsgrößen
Ich probier es nochmal:

Grundgesamtheit: $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{\omega_1,\omega_2,...\omega_n \right\} \end{eqnarray*}$

Gehen wir davon aus unsere Grundgesamtheit sei endlich

Die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ aus der Grundgesamtheit $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ genau eine reelle Zahl $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ zuordnet

Unsere ursprünglicher Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \Sigma, P) \end{eqnarray*}$ wird mithilfe der Zufallsvariable ein neuer Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (X(\Omega), X(\Sigma), X(P)) \end{eqnarray*}$ abgeildet ->ursprünglicher Wahrscheinlichkeit: NEU VERTEILT

$\begin{eqnarray*} X(\Omega)=\left\{X(\omega_1),X(\omega_2),...X(\omega_n) \right\} \end{eqnarray*}$

wir haben also eine feste Anzahl an Zufallsvariablen

So ist $\begin{eqnarray*} Z_n \end{eqnarray*}$ wieder eine Zufallsvariable mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} Z_n=(X(\omega_1),...,X(\omega_n)) \end{eqnarray*}$ ...dies ist dann ein n-dimensionaler Zufallsvektor

und der Erwartungswert soll jetzt sein: $\begin{eqnarray*} E(Z_n)=0 \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \operatorname{E}(Z)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i)=x_1 \cdot p_1+...+x_n \cdot p_n=\begin{pmatrix} x_1 \\ .\\ .\\ . \\ x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} p_1 \\ .\\ .\\ . \\ p_n \end{pmatrix} =0? \end{eqnarray*}$

wenn n gerade...ist das dann erfüllt wenn z.B:

$\begin{eqnarray*} x_1 p_1=-x_np_n;...;x_{n/2} p_{n/2}=-x_{(n/2)+1} p_{(n/2)+1} \end{eqnarray*}$

oder so ähnlich

Haben wir eine stetige Verteilung der Zufallsvariable, so denke ich das:

$\begin{eqnarray*} C[a,b]\in V \end{eqnarray*}$ (Menge stetiger reellen Funktionen im Inervall a,b) dieser ist unendlich dimensionaler Vektorraum

Geht das in die Richtung? Danke

11.04.2015, 15:44

Helferlein

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Sofern ihr benutzen dürft, dass die Menge aller Abbildungen einen Vektorraum darstellt, läuft es einfach nur auf das Prüfen eines Untervektorraums hinaus.

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