Skalarprodukt

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winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt
Zu meiner letzten Aufgabe dieser Woche, Lineare Algebra:

Definition Skalarprodukt:

Auf wikipedia steht:

Ein Skalarprodukt oder inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform , das heißt für gelten die folgenden Bedingungen

bilinear:



symmetrisch:
positiv definit:, und genau dann, wenn

okay, ich denke mir gerade, was passiert wenn im ersten Fall:

Positive Definit:JA


zufälligerweise ist



mir fällt jetzt keine Funktion ein, bei der das nicht stimmt...gibt es eine...sonst wäre ja die positive definit. falsch?

bzw. gilt:

oder?

Symmetrisch: JA

macht keinen Unterschied beim Lösen des Integrals

Bilinear: JA









Mir scheint, es liegt ein Skalarprodukt auf C[-1,1] vor


[attach]37656[/attach]
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
Ja, es liegt ein Skalarprodukt vor. Beginne deine Rechnungen jeweils mit den spitzen Klammern und beende sie auch damit, z.B. bei der Bilinearität: .

Die Begründung der positiven Definitheit reicht noch nicht aus. Du mußt noch zeigen, daß nur für (Nullfunktion) gilt. Zur Begründung mußt du Eigenschaften des Integrals und die Stetigkeit von heranziehen.

Und noch etwas. Schreibe bitte Integranden, wenn sie Summen sind, in Klammern. Beachte, daß das Differential mit dem Integranden durch einen (unsichtbaren) Malpunkt zusammenhängt. Es liegt also ein Produkt vor, je nach Art, wie man ein Differential versteht, ein echtes oder formales Produkt.

Zitat:
Original von winki2008
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
auf einen weiteren Link, habe ich diesen Beweis gefunden:

http://www.onlinemathe.de/forum/beweis-nullfunktion

das wird er wohl sein...

leider versteh ich ihn noch nicht ganz...
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
noch eine Frage:...analog zu dem was ich beim ersten gezeigt habe müsste doch das zweite auch ein Skalarprodukt sein? Oder was spricht da dagegen? bzw. dann nicht auch das dritte?

Zu b)

Ich rechne das skalarprodukt in der angabe nr. 2...da kommt 4/5 raus...aber wie bestimmt man jetzt den" Betrag des vektors" um den Winkel zu errechnen?

DANKE
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
Der Betrag/Norm ist durch das Skalarprodukt durch definiert. Kann man ebenfalls ausrechnen und die positive Definitheit garantiert, dass beim Wurzelziehen nichts böses passiert.

Zu den "Skalarprodukten": Bilinearität und die meisten Eigenschaften folgen tatsächlich bei allen 3 einfach aus den Eigenschaften des Integrals (und der reellen Zahlen).

Das kritische hier ist die Definitheit. So stimmt diese bei der zweiten Bilinearform nicht.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
Danke, aber irgendwie kommt mir das gerade etwas verhext vor...

Angenommen





Was ja genau genommen gegen die positive Definit verstoßen würde, weil:

, und genau dann, wenn

Was läuft bei meiner Rechnung falsch?
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
Und wie genau definierst du die Wurzel für negative Zahlen?
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
okay, klar...Denkfehler von mir, dass dies stetig im Intervall [-1,1]..

okay... Nr. a) hab ich jetzt glaub ich komplett..

b)...die Ergebnisse der Skalarprodukte waren nicht so schön

Allgemein:


heißt der Winkel ist

Analog für

Winkel ist





Nenner 0...Existiert jetzt kein Winkel??
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Skalarprodukt
Die Aufgabe sagst du sollst den Winkel bestimmen, wenn es ein Skalarprodukt ist. Und ich habe im letzten Post schon gesagt, dass es sich bei der zweiten Bilinearform um keins handelt. Warum siehst du ja an dem f.
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