Ungleichung mit gebrochen-rat. Funktionen im Betrag

06.04.2015, 17:37	Viktor89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit gebrochen-rat. Funktionen im Betrag Hallo! Aufgabe ist, zu $\begin{eqnarray} \| \frac{x+3}{2x-5} \| >3 \end{eqnarray}$ die passenden Lösungen zu finden. Angefangen habe ich damit, den Def-Bereich der Funktion zu bestimmen: $\begin{eqnarray} D=\mathbb R / \left\{ \frac{5}{2} \right\} \end{eqnarray}$ Dann habe ich das ganze in einzelne "Fälle" unterteilt: *Fall 1: $\begin{eqnarray} x>\frac{5}{2} \end{eqnarray}$* $\begin{eqnarray} x+3<3(2x-5) \Rightarrow x+3<6x-15 \Rightarrow ... \Rightarrow x<\frac{18}{5} \end{eqnarray}$ *Fall 2: $\begin{eqnarray} x<\frac{5}{2} \end{eqnarray}$* $\begin{eqnarray} x+3>3(2x-5) \Rightarrow x+3>6x-15 \Rightarrow ... \Rightarrow x>\frac{18}{5} \end{eqnarray}$ *Fall 3: $\begin{eqnarray} \frac{x+3}{2x-5}>0 \end{eqnarray}$* gleich wie fall 1 (?) *Fall 4: $\begin{eqnarray} \frac{x+3}{2x-5}<0 \end{eqnarray}$* $\begin{eqnarray} -(\frac{x+3}{2x-5})>3 \Rightarrow -(x+3)>3(2x-5) \Rightarrow -x-3>6x-15 \Rightarrow -7x > -12 \Rightarrow x>\frac{12}{7} \end{eqnarray}$ So weit, so gut (glaube ich zumindest). Jetzt weiß ich allerdings nicht wirklich, wie ich die Lösungsmenge definieren soll, weil ich nicht ganz verstehe, wie ich diese Ergebnisse interpretieren soll... Was soll es bedeuten, wenn es, z.B. im Fall 1 heißt $\begin{eqnarray} x>\frac{5}{2} \end{eqnarray}$ , im gleichen Atemzug aber auch $\begin{eqnarray} x<\frac{18}{5} \end{eqnarray}$ ? Was soll ich mit den Ergebnissen anfangen bzw. woher weiß ich, ob diese stimmen? In die Funktion einsetzen? Und warum wird die Lösung mit $\begin{eqnarray} x\in (\frac{12}{7} ; \frac{5}{2} )\cup (\frac{5}{2};\frac{18}{5} ) \end{eqnarray}$ angegeben, wenn die Ungleichung für diese Werte doch nicht erfüllt ist? Wäre toll, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich diese Ergebnisse interpretieren kann/soll/muss! Vielen Dank schonmal für eure Antworten!
06.04.2015, 17:53	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso quadrierst du nicht deine Ungleichung? $\begin{eqnarray} \| \frac{x+3}{2x-5} \| >3 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \frac{(x+3)^2}{(2x-5)^2}>9 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-\frac{186}{35}x+\frac{216}{35}<0 \end{eqnarray}$ Die Nullstellen der entsprechenden Funktion lauten nun $\begin{eqnarray} x_1=\frac{12}{7} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=\frac{18}{5} \end{eqnarray}$ . Da die Parabel nach oben geöffnet ist, ist es nun nicht mehr so schwierig sich zu überlegen, in welchem Bereich die Funktionswerte negativ sind. $\begin{eqnarray} \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ muss natürlich noch ausgeschlossen werden, wie du richtig erkannt hast und es die Lösung auch vorgibt.
07.04.2015, 14:20	Viktor89	Auf diesen Beitrag antworten »
Wozu denn quadrieren? Kommt man dadurch schneller auf die Ergebnisse? Und das mit der angegebenen Lösungsmenge $\begin{eqnarray} x\in (\frac{12}{7} ; \frac{5}{2} )\cup (\frac{5}{2};\frac{18}{5} ) \end{eqnarray}$ verstehe ich trotzdem nicht. Denn da steht doch, dass die Ungleichung erfüllt ist, wenn x diese Werte annimmt. Aber gerade $\begin{eqnarray} \frac{12}{7} und \frac{5}{2} \ bzw. \frac{5}{2} und \frac{18}{5} \end{eqnarray}$ müssten doch ausgeschlossen sein, oder? Ich hätte die Lösungsmenge so angegeben: $\begin{eqnarray} L= ]\frac{12}{7} ; \frac{5}{2} [ \cup ]\frac{5}{2} ; \frac{18}{5}[ \end{eqnarray}$ , wäre das denn falsch?
07.04.2015, 14:29	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dich anscheinend etwas mit der Intervallschreibweise vertraut machen. Deine Lösungsmenge ist identisch. Es ist egal ob man eine runde Klammer oder die eckige Klammer verkehrt herum setzt, die Bedeutung bleibt gleich, nämlich, dass die Grenze nicht mit zum Intervall gehört, es also an dieser Grenze offen ist. Quadrieren bietet den Vorteil keine Fallunterscheidung zu machen.
07.04.2015, 15:08	Viktor89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da habe ich auf jeden Fall noch Defizite und muss mich nochmal reinlesen. Gilt das mit dem Quadrieren immer, oder funktioniert das nur für Spezialfälle? Könnte ich so z.B. auch Ungleichungen dieser Form lösen: $\begin{eqnarray} \| x-4 \| < 6 \end{eqnarray}$ ?
07.04.2015, 15:17	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kannst du machen, obwohl sich hier die Fallunterscheidung ja noch im Rahmen halten würde: $\begin{eqnarray} (x-4)^2<36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-8x+16<36 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2-8x-20<0 \end{eqnarray}$ Die Nullstellen wären hier $\begin{eqnarray} x_1=10 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=-2 \end{eqnarray}$ , wie man leicht mit Vieta sehen kann. Und somit: $\begin{eqnarray} \mathbb{L}=(-2;10) \end{eqnarray}$
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07.04.2015, 15:43	Viktor89	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann lohnt sich das also eher für die Fälle, bei denen man mehrere Fallunterscheidungen machen müsste, verstehe! Vielen Dank für deine Hilfe, hat mir sehr weitergeholfen!!
07.04.2015, 15:46	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es, bei der letzen Betragsungleichung würde ich wohl auch eher über die Fallunterscheidung gehen, da diese eben sehr einfach ist. Gerne! Dir noch einen schönen Tag.

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