Teilbarkeit

07.04.2015, 15:39

schachtelkopf

Teilbarkeit

Meine Frage:
hey Leute smile

folgendes Problem ich habe $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für die gilt, dass $\begin{eqnarray*} 3 \mid x_1 \cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n +1 \end{eqnarray*}$ .

ich möchte nun zeigen das keine der zahlen $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_n \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar ist und auch das mindestens eine der Zahlen $\begin{eqnarray*} x_i +1 ; i \in \lbrace 1,...,n \rbrace \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar ist.

Meine Ideen:
also für die erste Teilaufgabe habe ich so angefangen:
$\begin{eqnarray*} 3 \mid x_1 \cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n +1 \Longrightarrow \exists q \in \mathbb{N}: x_1 \cdot x_2 \cdot \cdot \cdot x_n +1 = 3 \cdot q \end{eqnarray*}$

ich habe nun angenommen

$\begin{eqnarray*} \exists x_i : 3 \mid x_i &\Longrightarrow& 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n \\ &\Longrightarrow& 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n \land 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n +1 \end{eqnarray*}$

das ist ein Widerspruch den 3 kann nicht beides teilen $\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \nexists x_i : 3 \mid x_i \end{eqnarray*}$

das wär so meine Idee gewesen !?!

zum zweiten teil hab ich leider keine Idee und würde mich freuen wenn mir jemand nen kleinen Anstoß geben könnte ... lg smile

07.04.2015, 15:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilbarkeit ?

Zitat:

Original von schachtelkopf
$\begin{eqnarray*} 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n \land 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n +1 \end{eqnarray*}$

das ist ein Widerspruch den 3 kann nicht beides teilen

Auch wenn es irgendwie offensichtlich erscheint, könnte es sein, daß hierfür eine Begründung verlangt wird.

Zitat:

Original von schachtelkopf
zum zweiten teil hab ich leider keine Idee und würde mich freuen wenn mir jemand nen kleinen Anstoß geben könnte ... lg smile

Ich würde zunächst dieses zeigen:
Seien x_1, ..., x_n Zahlen, bei denen für jedes i mit 1 <= i <=n gilt, daß x_i + 2 durch 3 teilbar ist. Dann gilt, daß auch x_1 * ... * x_n + 2 durch 3 teilbar ist.

07.04.2015, 16:03

schachtelkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

hey danke für die schnelle Antwort.

wie könnte ich das denn begründen ?

bei dem tipp für die Teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} 3 \mid x_i +1 \end{eqnarray*}$ versteh ich leider nicht genau was du mir damit sagen willst verwirrt

07.04.2015, 16:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft ein wenig Nachdenken. Ich muß mich jetzt leider ausklinken. Sorry. geschockt

07.04.2015, 16:11

schachtelkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

ok kein problem ... Wink

08.04.2015, 09:27

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schachtelkopf
wie könnte ich das denn begründen ?

Möglichkeit 1: 2 aufeinanderfolgende Zahlen haben niemals gleiche Teiler (abgesehen von 1). (Könnte sein, daß das vielleicht irgendwo bewiesen wurde.)

Möglichkeit 2: Ist $\begin{eqnarray*} 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n \land 3 \mid x_1 \cdot \cdot \cdot x_n +1 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch 3 Teiler der Differenz, was aber zum Widerspruch führt.

Zitat:

Original von schachtelkopf
bei dem tipp für die Teilbarkeit von $\begin{eqnarray*} 3 \mid x_i +1 \end{eqnarray*}$ versteh ich leider nicht genau was du mir damit sagen willst verwirrt

Du hast ja schon gezeigt, daß es kein i gibt, so daß 3 Teiler von x_i ist. Jetzt könnte es noch sein, daß für alle i 3 Teiler von $\begin{eqnarray*} x_i + 2 \end{eqnarray*}$ ist. Mit dem noch zu beweisenden Hilfssatz wäre dann auch x_1 * ... * x_n + 2 durch 3 teilbar .

12.04.2015, 19:07

schachtelkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

hey

war übers Wochenende weg und hab auch nicht mehr ins Forum gesehen aber danke das du dich da nochmal gemeldet hast Freude

ich werd mir jetzt mal Gedanken machen wie ich des dann auch zum Widerspruch führen kann... verwirrt

12.04.2015, 21:03

schachtelkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

hey leider komm ich einfach nicht darauf ... wie ich das zeigen soll

ich muss leider nochmals um einen Tipp bitten Erstaunt2

13.04.2015, 08:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen für alle i ist 3 Teiler von $\begin{eqnarray*} x_i + 2 \end{eqnarray*}$ . Mit dem noch zu beweisenden Hilfssatz wäre dann auch x_1 * ... * x_n + 2 durch 3 teilbar . Dies steht aber im Widerspruch zur Voraussetzung, daß x_1 * ... * x_n + 1 durch 3 teilbar ist. Also muß es ein j geben, so daß 3 Teiler von $\begin{eqnarray*} x_i + 1 \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

14.04.2015, 17:57

schachtelkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

hey

ich bin leider immer noch verwirrt und versteh es leider nicht so ganz

welchen Hilfssatz muss ich noch beweisen?

ich verstehe vor allem nicht wieso dann

$\begin{eqnarray*} 3 | x_1 \cdot \cdot \cdot x_n +2 \end{eqnarray*}$ gilt ?

15.04.2015, 00:31

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{align*} \forall i: 3\mid x_i+2\quad (*) \end{align*}$ . Damit folgt $\begin{align*} 3\mid 1+ \prod\limits_{i=1}^n x_i\Rightarrow 3\mid 1+ \prod\limits_{i=1}^{n-1} x_i \end{align*}$ und dies induktiv bis $\begin{align*} 3\mid x_1+1 \end{align*}$ , was ein Widerspruch zu (*) ist.

15.04.2015, 08:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schachtelkopf
welchen Hilfssatz muss ich noch beweisen?

ich verstehe vor allem nicht wieso dann

$\begin{eqnarray*} 3 | x_1 \cdot \cdot \cdot x_n +2 \end{eqnarray*}$ gilt ?

Siehe hier:

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich würde zunächst dieses zeigen:
Seien x_1, ..., x_n Zahlen, bei denen für jedes i mit 1 <= i <=n gilt, daß x_i + 2 durch 3 teilbar ist. Dann gilt, daß auch x_1 * ... * x_n + 2 durch 3 teilbar ist.

15.04.2015, 16:25

schachtelkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

hey

es hat sich mittlerweile erledigt, aber danke dir für die Hilfe Freude

lg schachtelkopf

Neue Frage »

Antworten »

Teilbarkeit

Verwandte Themen