Zahlenspiel mit großen Zahlen

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07.04.2015, 20:06	Hugues	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlenspiel mit großen Zahlen Das folgende "Zahlenspiel" hat ein Freund gestellt [attach]37672[/attach] und als Lösungshilfe ergänzt: "Ich gebe es ja zu: Dieses Ding ist eine hundsgemeine Frechheit. Wer hier versucht, gleich am Anfang etwas zu berechnen, kommt nicht weit. Zuerst bräuchte man eine gute Idee. Dann bleibt einem nichts anderes übrig als für n die Werte von 1 bis 10 einzusetzen und zu schauen, ob man mit diesen zehn Gleichungen was anfangen kann. Die Reihenfolge ist eigentlich egal, aber es gibt einen optimalen Weg. Wer ihn findet, reduziert durch geschickte Kombination die anfänglichen 10! Möglichkeiten - das sind etwas mehr als 3,6 Millionen - auf nur noch 96." Ist das wirklich so? Welche Werte ergeben sich für m4, a, b, und c?
07.04.2015, 21:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht hier offenbar um $\begin{align} n \end{align}$ -stellige Dezimalzahlen, die aus sämtlich verschiedenen Ziffern bestehen sollen und zudem durch $\begin{align} n \end{align}$ teilbar sein sollen. Außerdem wird gefordert, dass genau drei der $\begin{align} n \end{align}$ Ziffern ihrer Position in der $\begin{align} n \end{align}$ -stelligen Zahl entsprechen. Aber wieso $\begin{align} 10! \end{align}$ ? Die Frage geht um $\begin{align} m_4,a,b,c \end{align}$ , also um $\begin{align} n=4 \end{align}$ : Drei der vier Ziffern stehen nach obigen Forderungen fest, und für die vierte gibt es nur noch sehr wenige Möglichkeiten - 96 ist da noch stark übertrieben, man kann die Möglichkeiten wahrhaftig an einer Hand abzählen.
08.04.2015, 03:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlenspiel mit großen Zahlen Einzige Lösung: 3816547290 Begründung ist mir jetzt zu umfangreich. a=5,b=7,c=9 und m4=954.
08.04.2015, 08:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Ok, da habe ich das wohl missverstanden - wohl weil einige Quantoren fehlen: Es sollen also $\begin{align} x_1,\ldots,x_{10} \end{align}$ bestimmt werden, so dass für alle $\begin{align} n\in \{1,2,\ldots,10\} \end{align}$ gilt ... Ich hatte es so gedeutet, dass man jeweils feste $\begin{align} n,x_1,\ldots,x_n \end{align}$ angeben soll - und da gibt es durchaus auch andere Lösungen wie z.B. im Fall n=4 die vier Lösungen 1204, 1236, 1264, 1284.
08.04.2015, 08:59	Hugues	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank an die Profis von der Definitionslücke;-) Das ging ja wirklich schnell.-))
08.04.2015, 14:22	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zahlenspiel mit großen Zahlen Um meinen vorigen Post noch zu unterfüttern und damit du bei der Präsentation nicht ganz dumm dastehst : Die einzige Lösung ist 3816547290 mit $\begin{align} x_5 = 5 \end{align}$ , $\begin{align} x_7 = 7 \end{align}$ , $\begin{align} x_9 = 9 \end{align}$ und $\begin{align} m_4 = 954 \end{align}$ . Ob es eine kürzere Begründung dafür gibt als die folgende, entzieht sich meiner Einschätzung. Da es aber immer wieder ähnlich Schlussfolgerungen gibt, könnte man wohl manches zusammenfassen. (Hätte ich geahnt, dass das so ausufert, hätte ich es wohl gelassen ) $\begin{align} x_1x_2\cdots x_n := \sum\limits_{i=1}^n 10^{n-i}x_i \end{align}$ allgemein: $\begin{align} x_kx_{k+1}\cdots x_n := \sum\limits_{i=k}^n 10^{n-k+1-i}x_i \end{align}$ Es darf nur drei Ziffern geben mit $\begin{align} x_k = k \end{align}$ . Dies verwende ich im Folgenden u.U. implizit bei der Festlegung der möglichen Auswahlmengen für eine Ziffer. B) legt $\begin{align} x_5 = 5 \end{align}$ fest, es darf also nur noch zwei andere Ziffern mit $\begin{align} x_k = k \end{align}$ geben. Ich verwende implizit verschiedene Rechentricks wie: "Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme ebenfalls durch 3 teilbar ist" oder "Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist". A) $\begin{align} 10\mid x_1x_2\cdots x_{10} \Rightarrow x_{10}=0 \end{align}$ B) $\begin{align} x_5\in\{0,5\}\Rightarrow x_5=5 \end{align}$ C) $\begin{align} 2\mid x_{2k} \Rightarrow x_{2k}\in\{2,4,6,8\}\Rightarrow x_{2k+1}\in\{1,3,5,7,9\}\ \end{align}$ D) $\begin{align} 8\mid x_6x_7 x_8: \text{ Sei }x_8 =8\Rightarrow 2\mid x_7,\text{ Widerspruch zu C) }\Rightarrow x_8 \not= 8 \end{align}$ E) $\begin{align} \text{Sei }x_1=1: x_3\in\{3,7,9\} \end{align}$ E.1) $\begin{align} \text{Sei }x_3=3: x_2=8\Rightarrow x_4 \in\{2,6\} \end{align}$ E.1.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch E.1.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: x_6=4\land x_7\in\{7,9\}\text{, aber }1836540 = 6 \!\!\!\!\mod 7 \end{align}$ , Widerspruch E.2) $\begin{align} \text{Sei }x_3=7: x_2=4\Rightarrow x_4 \in\{2,6\} \end{align}$ E.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: 147250=4\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6 =8\land x_8=6\Rightarrow 1472580=4\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=3\text{ aber }8\nmid 836 \end{align}$ , Widerspruch E.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: 147650=2\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6 =4 \end{align}$ , Widerspruch E.3) $\begin{align} \text{Sei }x_3=9: x_2\in\{2,8\} \end{align}$ E.3.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2 \Rightarrow x_4=6\land x_6=4\Rightarrow x_8=8 \end{align}$ , Widerspruch zu D). E.3.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8: x_4\in\{2,6\} \end{align}$ E.3.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2:189250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch E.3.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6:189650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4,\text{ aber } 1896540=2\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=5 \end{align}$ , Widerspruch Also ist $\begin{align} x_1\not= 1 \end{align}$ . F) $\begin{align} \text{Sei }x_1=7: x_3\in\{1,3,9\} \end{align}$ F.1) $\begin{align} \text{Sei }x_3=1: x_2=4\land x_4\in \{2,6\} \end{align}$ F.1.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: 741250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=8\text{, aber }7412580=0 \!\!\!\!\!\mod 7 \end{align}$ , Widerspruch zur Voraussetzung F.1.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: 741650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4 \end{align}$ , Widerspruch F.2) $\begin{align} \text{Sei }x_3=3: x_2\in\{2,8\} \end{align}$ F.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2: x_4=6 \Rightarrow \text{ mit }723650= 2\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\land x_8=8 \end{align}$ , Widerspruch zu D) und zur Voraussetzung. F.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8 :x_4\in\{2,6\} \end{align}$ F.2.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2 :\text{ mit }783250= 4\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch. F.2.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6 :\text{ mit }783650= 2\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\text{, aber }7836540=5 \!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=2 \end{align}$ , Widerspruch zu C). F.3) $\begin{align} \text{Sei }x_3=9: x_2\in\{2,8\} \end{align}$ F.3.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2: \end{align}$ Da $\begin{align} 7296=7236=0\!\!\!\!\!\mod 4 \end{align}$ , führt eine analoge Begründung wie bei F.2.1) zum Widerspruch F.3.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8 :x_4\in\{2,6\} \end{align}$ F.3.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2 :\text{ mit }789250= 4\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch. F.3.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6 :\text{ mit }789650= 2\!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\text{, aber }7896540=1 \!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=8 \end{align}$ , Widerspruch zu C). Also ist $\begin{align} x_1\not= 7 \end{align}$ . G) $\begin{align} \text{Sei }x_1=9: x_3\in\{1,3,7\} \end{align}$ G.1) $\begin{align} \text{Sei }x_3=1: x_2\in \{2,8\} \end{align}$ G.1.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2: x_4=6\text{ und mit } 921650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\Rightarrow x_8=8 \end{align}$ , Widerspruch zu D). G.1.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8: x_4\in\{2,6\} \end{align}$ G.1.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: 981250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch. G.1.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: 981650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4,\text{ aber } 9816540=6\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7\in\{1,9\} \end{align}$ , Widerspruch zur Voraussetzung. G.2) $\begin{align} \text{Sei }x_3=3\Rightarrow x_2=6, x_4=2: 963250=4 \!\!\!\!\!\mod 6\Rightarrow x_6= 8 \text{, sowie }9632580=6 \!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=1 \end{align}$ . Für nur eine dieser Ziffern ist $\begin{align} x_k = k \end{align}$ , und da 8 und 9 schon vergeben sind, führt dies zu einem Widerspruch zur Voraussetzung. G.3) $\begin{align} \text{Sei }x_3=7: x_2\in \{2,8\} \end{align}$ G.3.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2: x_4=6\text{ und mit } 927650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\Rightarrow x_8=8 \end{align}$ , Widerspruch zu D). G.3.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8\Rightarrow x_4\in\{2,6\} \end{align}$ G.3.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: 987250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch. G.3.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: 987650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4,\text{ aber } 9876540=2\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7\in\{5,9\} \end{align}$ , Widerspruch. Also auch $\begin{align} x_1\not= 9 \end{align}$ . Es bleibt nur noch $\begin{align} x_1=3 \end{align}$ : H) $\begin{align} x_1=3: x_3\in\{1,7,9\} \end{align}$ H.1) $\begin{align} \text{Sei }x_3=7: x_2\in \{2,8\} \end{align}$ H.1.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2: x_4=6\text{ und mit } 327650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\Rightarrow x_8=8 \end{align}$ , Widerspruch zu D). H.1.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8: x_4\in\{2,6\} \end{align}$ H.1.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: 387250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch. H.1.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: 387650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4,\text{, aber } 3876540=3\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=4 \end{align}$ , Widerspruch. H.2) $\begin{align} \text{Sei }x_3=9: x_2=6,x_4=2: 369250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=8\text{, aber } 3692580=3\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=4 \end{align}$ , Widerspruch. H.3) $\begin{align} \text{Sei }x_3=1: x_2\in \{2,8\} \end{align}$ H.3.1) $\begin{align} \text{Sei }x_2=2: x_4=6\text{ und mit } 321650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4\Rightarrow x_8=8 \end{align}$ , Widerspruch zu D). H.3.2) $\begin{align} \text{Sei }x_2=8: x_4\in\{2,6\} \end{align}$ H.3.2.1) $\begin{align} \text{Sei }x_4=2: 381250=4 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6\in\{2,8\} \end{align}$ , Widerspruch. Letzte Möglichkeit: H.3.2.2) $\begin{align} \text{Sei }x_4=6: 381650=2 \!\!\!\!\!\mod 6 \Rightarrow x_6=4,\text{ und } 3816540=0\!\!\!\!\!\mod 7\Rightarrow x_7=7,x_8=2,x_9=9 \end{align}$ , erfüllt alle Voraussetzungen, ist damit die einzige Lösung.
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08.04.2015, 18:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kann man das ganze ein wenig verkürzen, wenn man nutzt, dass $\begin{align} x_4x_5x_6 \end{align}$ durch 3 teilbar sein muss: $\begin{align} x_5=5 \end{align}$ kennen wir ja schon, also muss $\begin{align} x_4+x_6\equiv 1\bmod 3 \end{align}$ sein, außerdem wissen wir ja $\begin{align} x_4\in\{2,6\} \end{align}$ . Es verbleiben für $\begin{align} x_4x_5x_6 \end{align}$ nur die beiden Dreierkombinationen 258 und 654. Wenn ich also A)-C) beibehalte und D) leicht erweitere: D') $\begin{align} 8\mid x_6x_7x_8 \end{align}$ : Aus $\begin{align} x_8\in\{4,8\} \end{align}$ folgt $\begin{align} 2\mid x_7 \end{align}$ , Widerspruch zu C). Es ist somit $\begin{align} x_8\in\{2,6\} \end{align}$ . E) $\begin{align} x_4x_5x_6=258 \end{align}$ : Es folgt $\begin{align} x_8=6,x_2=4 \end{align}$ , wegen $\begin{align} x_1+x_3\equiv 2\bmod 3 \end{align}$ folgt $\begin{align} \{x_1,x_3\}=\{1,7\} \end{align}$ . $\begin{align} x_7=3 \end{align}$ widerspricht der Teilbarkeit durch 8, es bleibt nur $\begin{align} x_7=9 \end{align}$ . Sowohl $\begin{align} 1472589 \end{align}$ also auch $\begin{align} 7412589 \end{align}$ sind nicht durch 7 teilbar. F) $\begin{align} x_4x_5x_6=654 \end{align}$ : Es folgt $\begin{align} x_8=2,x_2=8 \end{align}$ . Die Teilbarkeit durch 8 erfordert $\begin{align} x_7\in\{3,7\} \end{align}$ , wir vermerken außerdem $\begin{align} x_1+x_3\equiv 1\bmod 3 \end{align}$ . F.1) $\begin{align} x_7=3 \end{align}$ mit Maske 86543. Von den in Frage kommenden Zahlen 1896543, 7896543, 9816543, 9876543 ist keine durch 7 teilbar. F.2) $\begin{align} x_7=7 \end{align}$ mit Maske 86547. Von den in Frage kommenden Zahlen 1836547, 1896547, 3816547, 9816547 ist nur die vorletzte durch 7 teilbar, die zugehörige Gesamtzahl 3816547290 erfüllt die Aufgabenbedingung. P.S.: Nebenbei stellt sich heraus, dass die Forderung mit den genau drei "Fixpunkten" obsolet war, d.h. die anderen Bedingungen allein führen nur zu dieser einen Lösung, die dann allerdings genau drei Fixpunkte hat.
08.04.2015, 21:42	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL Ich hatte geahnt, dass man das eleganter begründen kann anstatt mit meiner "brute force"-Methode .
09.04.2015, 10:24	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
@HAL Du hast sehr richtig bemerkt, dass die Bedingung "Es darf nur drei Ziffern geben mit $\begin{align} x_k=k \end{align}$ " () eigentlich überflüssig ist. Man kann sie aber trotzdem für eine noch etwas "algebraischere" Begründung benutzen. Nach F): Es ist $\begin{align} 806540 = 0 \!\!\!\!\! \mod 7 \end{align}$ und $\begin{align} 10000 = 4 \!\!\!\!\! \mod 7 \end{align}$ . Von den noch möglichen Tupeln für $\begin{align} (x_1,x_3,x_7,x_9) \end{align}$ erfüllen nur $\begin{align} (1,9,7,3) \end{align}$ und $\begin{align} (3,1,7,9) \end{align}$ die Bedingung (), d.h. $\begin{align} x_7=7 \end{align}$ . Also muss $\begin{align} x_10x_3 = 0 \!\!\!\!\! \mod 7 \end{align}$ gelten. Nun ist aber $\begin{align} 109 = 4 \!\!\!\!\! \mod 7 \end{align}$ und $\begin{align} 301 = 0 \!\!\!\!\! \mod 7 \end{align}$ , sodass nur $\begin{align} 3816547290 \end{align}$ als Lösung in Frage kommt.

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