Bestimmung Komplexer Polynome

08.04.2015, 16:03

Ittum

Bestimmung Komplexer Polynome

Meine Frage:
Guten Tag,
und zwar lautet die letzte Aufgabe auf meinem Übungsblatt zur Funktionentheorie wie folgt:
Bestimmen Sie alle Polynome $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f((1+z)^2)=(1+f(z))^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass es eine Folge $\begin{eqnarray*} (z_{n})_{n} \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(z_{n})=z_{n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wie unten gleich folgen wird, hatte ich einige Ansätze allerdings berücksichtigen diese den vom Dozenten erwähnten Hinweis, welchen ich im Moment noch nicht gut verwenden kann, nicht. Hoffe meine Ideen sind dort, obwohl hauptsächlich verbal formuliert, dennoch ausreichend um zu zeigen das ich es wirklich schon selbst versucht habe. Ich bitte um etwas Unterstützung und bedanke mich schon einmal im vorraus.
mfg Ittum

Meine Ideen:
1. Ansatz: Das Ausmultiplizieren bzw. Umformen zu $\begin{eqnarray*} f(1+2z+z^2)=(1+2f(z)+f(z)^2) \end{eqnarray*}$ . Hier fiel mir dann auf das die Identitätsabbildung $\begin{eqnarray*} f(z)=z \end{eqnarray*}$ natürlich passen würde. Auch kann man zusätzlich zu $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ auch noch $\begin{eqnarray*} f(-1)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ durch geschicktes einsetzen herausfinden. Dies unterstützt natürlich die Vermutung mit der Identität. Da ich vermute das es eigentlich nur diese Lösung geben kann, habe ich natürlich versucht die Eindeutigkeit dieser Lösung zu zeigen, was allerdings nicht geklappt hat.

2. Unter der Voraussetzung das f ein Körperhomomorphismus ist habe ich auch noch weitere potenzielle Beweise hinbekommen allerdings kann ich die Bijektiviät hier, zumindest meines Wissens nach, nicht zeigen ,da die explizite Funktion bzw Funktionen nun mal nicht gegeben sondern gesucht sind.

3. Vermutlich ist der Hinweis mit Hilfe des Identitätssatzes für Polynome zu verwenden, allerdings weiss ich da nicht genau wie ich anfangen soll. Ich kann ja quasi Die Identität als Folge nehmen, sodass ich eine Folge mit $\begin{eqnarray*} f(z_{n})=z_{n} \end{eqnarray*}$ hätte. Nun fragt sich dann wie ich von da weiterkomme. Und auch da stand ich am Ende wieder vor dem Problem der Eindeutigkeit.

4. Auch hatte ich versucht die Gleichung als folgende Funktion aufzufassen: $\begin{eqnarray*} g(z)=f((1+z)^2)-(1+f(z))^2 \end{eqnarray*}$ , sodass deren Nullstellen meine Lösungen wären. Allerdings auch hier das Problem der unbekannt Funktion f.

08.04.2015, 20:05

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Definiere die streng monoton wachsende Folge $\begin{align*} (z_n) \end{align*}$ rekursiv durch

$\begin{align*} \begin{cases} z_0 = 0 & \\ z_{n+1} = \left( 1 + z_n \right)^2, & n>0 \end{cases} \end{align*}$

Zeige, daß dann

$\begin{align*} f(z_n) = z_n \end{align*}$

gilt. Das Polynom $\begin{align*} g(z) = f(z) - z \end{align*}$ besitzt somit unendlich viele Nullstellen. Polynome mit dieser Eigenschaft gibt es aber nicht besonders viele ...

08.04.2015, 20:46

Ittum

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für diesen Tipp. Werde das morgen in aller früh mal versuchen und mich dann nochmal melden. Einen schönen Abend noch!

10.04.2015, 21:43

Ittum

Auf diesen Beitrag antworten »

Hoffentlich geschafft
Also mein Beweis sieht mittlerweile wie folgt aus:
$\begin{eqnarray*} f((1+0)^2)=(1+f(0))^2 \Rightarrow f(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((1+1)^2)=(1+f(1))^2 \Rightarrow f(4)=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f((1+4)^2)=(1+f(4))^2 \Rightarrow f(25)=25 \end{eqnarray*}$
Daher definiere ich rekursiv die Folge $\begin{eqnarray*} z_{n+1}=(1+z_{n})^2 \end{eqnarray*}$ mit dem Startwert $\begin{eqnarray*} z_{0}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} deg f(z)=deg z=1 \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ hat höchstens $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Nullstelle.
Da $\begin{eqnarray*} deg f(z)=1 \end{eqnarray*}$ lässt sich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch als
$\begin{eqnarray*} f(z)=a_{0}+a_{1}z \end{eqnarray*}$ schreiben.
Da $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ folgt nun, dass $\begin{eqnarray*} a_{0}=0 \end{eqnarray*}$
und
da $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass $\begin{eqnarray*} a_{1}=1 \end{eqnarray*}$
Daher ist $\begin{eqnarray*} f(z)=z \end{eqnarray*}$ eindeutig
Allerdings scheint mir der Beweis noch etwas unzureichend. Auch verwende ich das Korollar, welches anhand des Grades des Polynomes auf die maximale Anzahl der Nullstellen schliessen lässt, nicht so wirklich.
Deswegen frage ich hier einfach mal ob das so ausreicht oder was ich gegebenenfalls noch zeigen sollte.
mfg Ittum

10.04.2015, 23:41

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hoffentlich geschafft
Dieses hier verstehe ich gar nicht. Wie kommst du darauf?

Zitat:

Original von Ittum
$\begin{eqnarray*} deg f(z)=deg z=1 \Rightarrow f \end{eqnarray*}$ hat höchstens $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ Nullstelle.

Hast du verstanden, warum $\begin{align*} f(z_n) = z_n \end{align*}$ gilt?
Dann bist du schon fertig. Denn das Polynom $\begin{align*} g(z) = f(z) - z \end{align*}$ hat jetzt unendlich viele Nullstellen, muß also das Nullpolynom sein. (Jedes andere Polynom hat höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.)

11.04.2015, 00:21

Ittum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hoffentlich geschafft
Ich dachte ich könne das aufgrund der Folge, welche ja meine gesuchten Eigenschaften aufweist, folgern. Aber wie schon geschrieben war ich auch selbst noch nicht zufrieden mit dem Beweis, da auch ich ihn eignentlich nicht komplett schlüssig fand.
Nein, demnach verstehe ich noch nicht warum $\begin{eqnarray*} f(z_{n})=z_{n} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe es quasi nur experimentell festgestellt. Ich versuche im Moment diese Gleichheit nachzuweisen, sodass ich diesen Zusammenhang verstehe, allerdings stehe ich da ziemlich auf dem Schlauch.

11.04.2015, 01:47

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hoffentlich geschafft
Edit: Gelöscht, weil falsch.

11.04.2015, 10:18

Ittum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hoffentlich geschafft

Zitat:

Hast du verstanden, warum $\begin{align*} f(z_n) = z_n \end{align*}$ gilt?

Man nutzt da das Wissen über die gegebene Gleichung aus um die Folge mit dieser Eigenschaft zu definieren. Ich dachte durch die Definition der Folge würde das impliziert werden. Muss ich dies wirklich noch explizit zeigen?

11.04.2015, 10:35

Ittum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hoffentlich geschafft
Habe es nun induktiv nachgewiesen:
z.z. $\begin{eqnarray*} f(z_{n})=z_{n} \end{eqnarray*}$
Beweis per Induktion über n:
I.A.
$\begin{eqnarray*} f(z_{0})=f(0)=0=z_{0} \end{eqnarray*}$
I.V.
$\begin{eqnarray*} f(z_{n})=z_{n} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
I.S.
$\begin{eqnarray*} f(z_{n+1})=f((1+z_{n})^2)=(1+f(z_{n}))^2=(1+z_{n})^2=z_{n+1} \end{eqnarray*}$
somit gilt die erwünschte Eigenschaft.
Wenn ich nun mein $\begin{eqnarray*} g(z)=f(z)-z \end{eqnarray*}$ definiere hat dieses wie du sagtest unendlich viele Nullstellen und kann daher nur das Nullpolynom sein.
Somit ist f eindeutig mit $\begin{eqnarray*} f(z)=z \end{eqnarray*}$
Wie sieht es nun aus? Klingt für mich schlüssig.
Nochmals vielen Dank für eure Mühen bisher.

11.04.2015, 23:56

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt so. Freude

Zitat:

Original von RavenOnJ
Alternative Lösungsmethode: Du kannst die obige Bestimmungsgleichung für f ableiten und einen Gradvergleich der linken und rechten Seite machen. Daraus kann man sehen, dass es sich um ein Polynom 1. Grades handeln muss, f(z) = az + b.

Wie soll das folgen? Ich sehe es nicht. Vermutlich stimmt es auch nicht, denn läßt man die Bedingung $\begin{align*} f(0) = 0 \end{align*}$ fallen, so gibt es unendlich viele Polynome, die die Funktionalgleichung

$\begin{align*} \text{(*)} \ \ f \left( (1+z)^2 \right) = \left( 1 + f(z) \right)^2 \end{align*}$

lösen. Man definiere die Polynome rekursiv durch

$\begin{align*} \begin{cases} f_0(z) = z & \\ f_{n+1}(z) = \left( 1 + f_n(z) \right)^2 , & n>0 \end{cases} \end{align*}$

Alle $\begin{align*} f_n(z) \end{align*}$ lösen $\begin{align*} \text{(*)} \end{align*}$ . $\begin{align*} f_n(z) \end{align*}$ hat den Grad $\begin{align*} 2^n \end{align*}$ .

12.04.2015, 00:26

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Wie soll das folgen? Ich sehe es nicht. Vermutlich stimmt es auch nicht, ...

Hast recht. Ich habe einen banalen Fehler in der Gradberechnung der Ableitung auf der rechten Seite gemacht (als Grad eines Faktors 1 statt k benutzt, mit k:= grad f). Sorry!

12.04.2015, 12:52

Ittum

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh super!
Vielen lieben Dank nochmal für die Unterstützung. smile

Neue Frage »

Antworten »

Bestimmung Komplexer Polynome

Verwandte Themen