Matrizen in k=Z2

09.04.2015, 01:37

Tom78

Matrizen in k=Z2

Hallo!

Angeblich soll es in $\begin{eqnarray*} GL_2 ( \mathbb{Z}_2 ) \end{eqnarray*}$ nur 6 mögliche Matrizen geben. Bis jetzt habe ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Welche Matrix fehlt?

09.04.2015, 11:37

Elvis

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Das stimmt nicht. Die allgemeine lineare Gruppe enthält reguläre Matrizen. Du musst die richtigen 6 von 16 Matrizen auswählen.

09.04.2015, 13:34

Tom78

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Ok, danke. Und welche Matrizen sind die 6 richtigen?

09.04.2015, 14:41

Elvis

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Reguläre Matrizen habe Determinante ungleich 0. In diesem speziellen Fall ist $\begin{eqnarray*} GL_2=SL_2 \end{eqnarray*}$ die Gruppe der Matrizen mit Determinante 1.

Suchen und rechnen musst Du schon selbst. Es sind ja nur 6 aus 16 Möglichkeiten und nicht 6 aus 13 Millionen wie beim Lotto. Augenzwinkern

09.04.2015, 17:05

Tom78

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Gut, neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.04.2015, 18:07

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Reguläre Matrizen habe Determinante ungleich 0.

Zitat:

Original von Tom78
Gut, neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \color{red} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \color{blue} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

09.04.2015, 18:16

Elvis

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@Tom 78
Falls Du die 16 Matrizen noch nicht gefunden hast, habe ich hier noch einen Tipp für Dich. Die von Leopold rot eingefärbten Matrizen haben nicht die Determinante 1 sondern die Determinante 0, aber sie bilden eine Basis des Vektorraums der 2x2-Matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ . Schreibe alle 16 Matrizen auf, und berechne ihre Determinanten, dann muss die Antwort auf Deine Frage klar werden.

09.04.2015, 21:20

Tom78

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Vielen Dank!
Jetzt sollte es passen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.04.2015, 10:03

Elvis

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Passt. Wie immer im Leben sollte man auch in der Mathematik eine Frage mit einem ganzen Satz beantworten und nicht nur mit Fragmenten. Vermutlich hat auch Dein Lehrer immer wieder gesagt: "Tom, antworten Sie bitte in ganzen Sätzen." Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb Z_2)=\{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

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