Summe gekürzter Brüche mit teilerfremden Nennern

10.04.2015, 21:35

daLoisl

Summe gekürzter Brüche mit teilerfremden Nennern

Hey,

ich habe folgendes Problem:
Seien $\begin{eqnarray*} a, c \in \mathbb Z, b, d \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} ggT(a,b)=ggT(c,d)=ggt(b,d)=1 \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass dann auch $\begin{eqnarray*} ggT(ad+bc,bd) = 1 \end{eqnarray*}$
Also man soll zeigen, dass die Summe eines gekürzten Bruches mit teilerfremden Nennern wieder gekürzt ist.

Ich habe versucht, die 1 als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} bd \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ad+bc \end{eqnarray*}$ darzustellen, bin aber gescheitert. Mit der Annahme, ein gemeinsamer Teiler sei größer als 1 konnte ich keinen Widerspruch herleiten.

Hat jemand eine Idee, wie man das angeht?

Ich denke, in einem ersten Schritt könnte es nützlich sein, zu sagen, dass
$\begin{eqnarray*} ggT(ad, bd) = d \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ggT(bc,bd) = b \end{eqnarray*}$
Allerdings habe ich keine Idee, wie man das weiterverwendet.

Freundliche Grüße
daLoisl

10.04.2015, 22:00

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Also man soll zeigen, dass die Summe eines gekürzten Bruches mit teilerfremden Nennern wieder gekürzt ist.

Nein, von Brüchen steht da nirgendwo irgendwas.

Man kanns zu Fuß machen:
Sei p eine Primzahl mit p|ab+cd und p|bd und dann die Fälle durchgehen.

Etwas eleganter wirds wohl wenn man ausnutzt, dass der ggT eine zahlentheoretische Funktion ist.

10.04.2015, 22:24

daLoisl

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Zitat:

Nein, von Brüchen steht da nirgendwo irgendwas.

1. Verzeihung, ich habe mich verschrieben. Eigentlich wollte ich sagen: "Also man soll zeigen, dass die Summe ZWEIER gekürzter Bruche mit teilerfremden Nennern wieder gekürzt ist."
2. Mir ist schon klar, dass das für das Problem irrelevant ist, aber ich wollte veranschaulichen, wodurch es motiviert ist. Ich weiß auch, dass man das formal ein wenig exakter formulieren müsste, damit es sich um eine äquivalente Problemstellung handelt, aber wenn Du sagst, das eine hat mit dem anderen nichts zu tun, bitte ich um eine nähere Erläuterung.

Jedenfalls danke für den Beitrag. Ich werde mir das wohl morgen noch einmal ansehen.

10.04.2015, 22:31

Captain Kirk

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Zitat:

"Also man soll zeigen, dass die Summe ZWEIER gekürzter Bruche mit teilerfremden Nennern wieder gekürzt ist."

Nein. Du hast hier nur ganze Zahlen.
Ich sehe hier keinen einzigen Bruch, geschweige denn ZWEI.

Hast du vielleicht vergessen irgendwas hinzuschreiben?

Zitat:

Mir ist schon klar, dass das für das Problem irrelevant ist, aber ich wollte veranschaulichen, wodurch es motiviert ist. Ich weiß auch, dass man das formal ein wenig exakter formulieren müsste, damit es sich um eine äquivalente Problemstellung handelt, aber wenn Du sagst, das eine hat mit dem anderen nichts zu tun, bitte ich um eine nähere Erläuterung.

Ich sehe keinerlei Veranschaulichung deinerseits.
Du schreibst eine Aussage hin. Und danach sagst du irgendwas von Brüchen, das mit der Aussage nichts zu tun hat.
Zeigt mir die Webseite hier irgendwas nicht an?

Und das mit den Brüchen ist hier auch vollkommen irrelevant. Das ist eine Aussasge über ganze Zahlen.

10.04.2015, 23:17

daLoisl

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Angenommen, es kommt jemand und fragt:
"Wenn die Brüche $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$ gekürzt und die Nenner $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind, ist dann auch der Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$ gekürzt?"

Solche Fragen könnten evtl. interessant sein, wenn man eine Klasse für rationale Zahlen programmiert.

Zuerst überlegt man sich, was man unter "gekürzt" verstehen will. Ich habe mir vorgestellt, ein etwaiges Minus steht im Zähler und Zähler und Nenner sind teilerfremd.
Schreibt man das dann mathematisch hin, so erhält man doch genau das, was ich gefragt habe, oder etwa nicht?

Zitat:

Und das mit den Brüchen ist hier auch vollkommen irrelevant. Das ist eine Aussasge über ganze Zahlen.

Das habe ich doch selbst gesagt. Und meine Frage bezog sich ja auch auf nichts anderes. Ehrlich gesagt fühle ich mich schon ein wenig angegriiffen, wenn meine Aussagen mit einem schlichten "Nein" quittiert werden oder ohne nähere Ausseinandersetzung als völlig absurd eingestuft werden.

10.04.2015, 23:31

Captain Kirk

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Zitat:

Schreibt man das dann mathematisch hin, so erhält man doch genau das, was ich gefragt habe, oder etwa nicht?

Ja, das ist richtig. leider hab ich keine Glaskugel, die mir verraten hätte können, dass du das meinst.

Zitat:

Zitat:
Und das mit den Brüchen ist hier auch vollkommen irrelevant. Das ist eine Aussasge über ganze Zahlen.

Das habe ich doch selbst gesagt. Und meine Frage bezog sich ja auch auf nichts anderes. Ehrlich gesagt fühle ich mich schon ein wenig angegriiffen, wenn meine Aussagen mit einem schlichten "Nein" quittiert werden oder ohne nähere Ausseinandersetzung als völlig absurd eingestuft werden.

Und es ist also schlimm, dass ich nochmal das selbe sage wie du? Ist das schon ein Angriff?
Diese obige Aussage war auch als Hinweis gedacht sich beim Beweis sich nicht in sonstwas zu verheddern. Und ist auch nach wie vor vollkommen richtig.
Ferner: Ich habe hier jedes meiner "Nein"'s begründet und von "völlig absurd" habe ich nie gesprochen.

Ich fühle mich durch solcherlei Unterstellungen, Übertreibungen und schlechte Lesefähigkeiten durchaus mehr als ein wenig angegriffen.
Mal ganz abgesehen vom "Undank ist der Welten Lohn".

11.04.2015, 00:55

RavenOnJ

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RE: Summe gekürzter Brüche mit teilerfremden Nennern
Ich schreibe mal den ggT(a,b) als (a,b), eine durchaus übliche Bezeichnung. Es gilt dann:
$\begin{align*} (a,b)=(b,d)=1\Rightarrow (b,ad)=1\Rightarrow (b,ad+bc)=1 \end{align*}$ . Analog kannst du weiter machen.

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