Extrema berechnen

11.04.2015, 10:13

Extroidi

Extrema berechnen

Hey!

Ich suche die Extremstellen von

$\begin{eqnarray*} f(x) = Abs[2sin(x)] - Abs[cos(2x)] \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \pi] \end{eqnarray*}$ .

Auf diesem Intervall ist ja

$\begin{eqnarray*} 2sin(x) \ge 0 \end{eqnarray*}$ also kann ich den Betrag weglassen.

Für den Subtrahenten unterscheide ich:

$\begin{eqnarray*} Abs[cos(2x)] = cos(2x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \le x \le \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{4} \le x \le \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Abs[cos(2x)] = -cos(2x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4} \end{eqnarray*}$ .

Dann bilde ich die zwei Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f_1 (x) = 2sin(x) -cos(2x) \rightarrow f_1 ' (x) =2cos(x) + 2sin(2x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2 (x) = 2sin(x) + cos(2x) \rightarrow f_2 ' (x) = 2cosx - 2sin(2x) \end{eqnarray*}$ .

Ich setze die Ableitungen gleich Null und erhalte

$\begin{eqnarray*} f_1 ' (x) = 0 <=> sin(x) = -0.5 \end{eqnarray*}$ , was auf dem gegebenen Intervall nicht möglich ist.

$\begin{eqnarray*} f_2 ' (x) = 0 <=> sin(x) = 0.5 \end{eqnarray*}$ , was nur für $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann müsste ein Extremwert bei $\begin{eqnarray*} P(\frac{\pi}{6}; 1.5) \end{eqnarray*}$ liegen?

11.04.2015, 12:09

Helferlein

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Und Du bist Dir sicher, dass $\begin{eqnarray*} \frac {\pi}4<\frac {\pi}6<\frac {3\pi}4 \end{eqnarray*}$ korrekt ist?

Abgesehen davon hast Du es mit einer Funktion zu tun, die nicht auf dem kompletten Bereich differenzierbar ist.

11.04.2015, 16:50

Extroidi

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Huch, das stimmt! Und wie gehts dann weiter?

11.04.2015, 21:51

Helferlein

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Die Funktion ist zwar nicht differenzierbar, aber stetig und es geht um ein abgeschlosses Intervall. Maximum und Minimum existieren also.
Wenn sie nicht im differenzierbaren Bereich liegen, wo könnten sie dann noch sein?

12.04.2015, 01:26

opi

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Allerdings gibt es auch ein lokales Minimum im differenzierbaren Bereich.

Beim Auflösen von $\begin{eqnarray*} f_2 ' (x) = 2\cos(x) - 2\sin(2x)=0 \end{eqnarray*}$ muß etwas schief gegangen sein, vielleicht wurde durch $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ geteilt und damit die Lösung entsorgt... verwirrt

12.04.2015, 12:22

Extroidi

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Hi,

ja, das stimmt. Ich habe durch Cos geteilt.

Es müsste dann korrekt lauten:

$\begin{eqnarray*} f_2 ' = 0 <=> cos(x) = sin(2x) \end{eqnarray*}$ . Mögliche Lösungen sind $\begin{eqnarray*} -\pi/2, \pi/6, \pi/2, .. \end{eqnarray*}$ .
In meinem Intervall kommt nur pi/2 in Frage.

Das lokale Minimum wäre dann der Punkt Min(pi/2; 1) ?
Aber für x=0 erhalte ich als Funktionswert -1.
Dann müsste ja der Punkt Q(0,-1) das Minimum sein!?

12.04.2015, 13:28

Mathema

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Zitat:

Original von Extroidi
Das lokale Minimum wäre dann der Punkt Min(pi/2; 1) ?

Ist dir überhaupt klar, was der Begriff "lokales Minimum" bedeutet, oder hast du diesen nur unwissend von opi übernommen?

Und hast du diese Frage von Helferlein verstanden?

Zitat:

Maximum und Minimum existieren also.
Wenn sie nicht im differenzierbaren Bereich liegen, wo könnten sie dann noch sein?

Darauf hast du ja noch keine Antwort gegeben.

13.04.2015, 19:18

Extroidi

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Zitat:

Original von Mathema

Ist dir überhaupt klar, was der Begriff "lokales Minimum" bedeutet, oder hast du diesen nur unwissend von opi übernommen?

Eigentlich ist mir das schon klar, auch wenn ich das lokale Minimum falsch angegeben habe - es ist ja nicht der Punkt, sondern der Funktionswert.

Zitat:

Original von Mathema
Und hast du diese Frage von Helferlein verstanden?

Wenn sie nicht im differenzierbaren Bereich liegen, wo könnten sie dann noch sein?

Darauf hast du ja noch keine Antwort gegeben.

Stimmt! Nunja, wenn sie nicht im differenzierbaren Bereich liegen, liegen sie vermutlich außerhalb des differenzierbaren Bereichs und vielleicht sogar direkt an den Randpunkten?

An dieser Stelle muss ich aber nachfragen, wieso die Funktion nicht differenzierbar ist.
Helferlein schrieb ja "Die Funktion ist zwar nicht differenzierbar, aber stetig und es geht um ein abgeschlosses Intervall. Maximum und Minimum existieren also.
Wenn sie nicht im differenzierbaren Bereich liegen, wo könnten sie dann noch sein?"

Wenn die Funktion nicht differenzierbar ist, wie kann man dann von einem "differenzierbaren Bereich" sprechen?

13.04.2015, 20:01

Helferlein

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In meinem ersten Posting sprach ich von " nicht im ganzen Bereich differenzierbar". Dies habe ich im weiteren dann auch gemeint.

14.04.2015, 12:14

Mathema

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Zitat:

Original von Extroidi
Stimmt! Nunja, wenn sie nicht im differenzierbaren Bereich liegen, liegen sie vermutlich außerhalb des differenzierbaren Bereichs und vielleicht sogar direkt an den Randpunkten?

Es sind doch gerade die Randstellen, an denen die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist, daher ergibt dein letzter Abschnitt wenig Sinn. Und genau dort liegen die (globalen) Maxima und Minima (vgl. Bild).

Zitat:

An dieser Stelle muss ich aber nachfragen, wieso die Funktion nicht differenzierbar ist.

Betrachte an der jeweiligen Stelle (z.B. 0) den links- und rechtsseitigen Grenzwert und zeige, dass dieser nicht gleich ist. Siehe auch hier.

14.04.2015, 20:39

Extroidi

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Hallo ihr beiden,

vielen Dank, jetzt ist mir einiges (nicht alles) klarer geworden!

Wenn ich mir die Funktion auf dem Intervall [0; pi] anschaue, dann habe ich zumindest ein lokales Minimum an der Stelle pi/2 (siehe mein letzter Post oben)?

Ein lokales Maximum gibt es nicht, weil die Funktion an den entsprechenden Stellen ebenfalls nicht differenzierbar ist, oder? Da gibts ja auch einen "Knick" der Steigungen links und rechts der Stellen.

14.04.2015, 23:22

Helferlein

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Doch, es gibt zwei lokale Maxima. Nur lassen sich diese nicht mit der Ableitung berechnen, weil sie genau an den Stellen liegen, an denen f keine eindeutige Steigung hat (d.h. nicht differenzierbar ist).

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