Nullstellen, Wendestellen, Extremstellen usw.

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snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen, Wendestellen, Extremstellen usw.
EDIT(Helferlein): Thema verkürzt. Hilfe braucht hier jeder.

Hallo,
ich stehe hier vor einem 3 Seitigem Problem und komme nicht ganz dahinter wie man das lösen soll.
Also ich bräuchte ein wenig Hilfe.

Zu der Aufgabe:

a) Untersuche die Funktion f in Bezug auf
1 ihre Nullstellen
2 ihre (lokalen) Extremstellen
3 ihre Wendestellen

b) Zeichne den Funktionsgraphen von f in ein Koordinatensystem von x = -2 bist x = +12.
Alle unter a) ermittelten Punkte müssen ersichtlich sein.

c)Nach welchem Zeitraum in Monaten kann wieder mit einem steigenden Absatz gerechnet werden? Bezugspunk hierfür ist die Maximalstelle. Eine Einheit auf der x Achse entspricht dabei einem Monat

c2) Überprüfe rechnerisch ob es Stellen gibt, an denen der Funktionsgraph die Steigung m = 4 hat.

d) Berechnen Sie die Fläche F1 im Bereich x=1 bis x=10, die zwischen dem Graphen f und der x Achse liegt

Habe mit a) angefangen

Nullstellen sind bei:
-1
2
10

Die Wendestelle habe ich grad mit x = 3,6666 errechnet. Ab da steht halt "Wendestellen" jetzt fehlt mir der Ansatz wie ich den Rest rechne
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Um welche Funktion geht es denn? verwirrt
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

oh je... sorry
f (x) = 0,5x³ -5,5x² + 4 x + 10
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - dann passen doch deine Nullstellen. Freude

Dann also zu den Extremstellen. Dafür brauchen wir die erste Ableitung. Wie lautet diese?
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

f (x) = 0,5x³ -5,5x² + 4 x + 10

1. Ableitung
f (x) = 1,5x² -11x + 4

2. Ableitung
f (x) = 3x - 11

3. Ableitung
f (x) = 3





Edit:
Danke für die Antwort.
Und Sorry das ich mich so spät erst melde. Habe grad einiges zu tun ^^
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar! Freude (bis auf die Notation - bitte Striche setzen und nicht immer f(x) schreiben)

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist ja . Also setzen wir die erste Ableitung gleich 0 und lösen die quadratische Gleichung. Welche Ergebnisse bekommst du?
 
 
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Wunderbar! Freude (bis auf die Notation - bitte Striche setzen und nicht immer f(x) schreiben)

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist ja . Also setzen wir die erste Ableitung gleich 0 und lösen die quadratische Gleichung. Welche Ergebnisse bekommst du?


Stimmt. Hab die Striche vergessen.

1,5x² -11x + 4 = 0 würde jetzt halt / 1,5 rechnen und anschließend die PQ formel nutzen.

x² - 7,33333x + 2,666666667

Hab das jetzt über den PC gemacht.
x1 = -0.383714066138
x2 = -6.94961926686
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von snick3rs
x² - 7,33333x + 2,666666667

Hab das jetzt über den PC gemacht.
x1 = -0.383714066138
x2 = -6.94961926686


snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap




wie hast du das gemacht?

steht die 11 für die 11 (11x) und die 3 für die abgeleitete 1,5x² ?
Und die kommt man auf die 97? wären das dann einfach 100 - 3 (also das was abgeleitet wurde)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mit der abc _ Formel:





aber eigentlich ging es mir um die richtigen Vorzeichen !
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

oha, das ist mir gar nicht aufgefallen.
danke
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von snick3rs
1,5x² -11x + 4 = 0 würde jetzt halt / 1,5 rechnen und anschließend die PQ formel nutzen.

x² - 7,33333x + 2,666666667

Hab das jetzt über den PC gemacht.
x1 = -0.383714066138
x2 = -6.94961926686


Ich vermute mal du bist Schüler und irgendwann kommt eine Klausur zu diesem Thema. Sinn einer solchen Übungsaufgabe ist es ja auch, dein Rechenweg mal ordentlich aufzuschreiben, wie es in einer Klausur auch verlangt wird. Deine Notation hier ist einfach furchtbar. Verwende doch bitte Brüche statt willkürlich gerundete Dezimalzahlen. Wenn du rundest, dann doch bitte immer auf gleich viel Dezimalen. Ich bevorzuge da immer 2, Dopap hat sich eben für 4 Stellen entschieden. Zudem fehlt das "=0" nach deiner Division.

Dein Erstaunen über Dopaps Ergebnisse verstehe ich auch nicht. Du hast doch die pq-Formel erwähnt. Das sind genau die Ergebnisse die man bekommt, wenn man diese anwendet und eben nicht ein Computer rechnen lässt, welcher in der Klausur wohl auch nicht zur Verfügung steht.

Dann solltest du jetzt also noch die Funktionswerte für deine Extremstellen berechnen und durch die hinreichende Bedingung überprüfen, welche Art von Extremum vorliegt, da du ja noch zeichnen sollst.

Zitat:
Die Wendestelle habe ich grad mit x = 3,6666 errechnet. Ab da steht halt "Wendestellen" jetzt fehlt mir der Ansatz wie ich den Rest rechne


Man soll auf Wendestellen untersuchen. Da kann man denn eben auch feststellen, dass es nur eine Wendestelle gibt, wie es hier der Fall ist. Diese liegt bei , das ist richtig. Dann noch den Funktionswert wieder berechnen und du hast alle Punkte für deinen Graphen zusammen.

Wink
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Wink

f'(x) = 1,5x² -11x + 4

gleich null setzen:

f'(x) = 1,5x² -11x + 4 = 0

jetzt wollte ich x² alleine stehen haben, also rechne ich /1,5

f'(x) = 1,5x² -11x + 4 = 0 | /1,5
f'(x) = x² -7,33334x + 2,66667 = 0

nun würde ich die PQ Formel benutzen:
P = -7,33334
Q = 2,66667


Formel: x1,2 = - P/2 ± Wurzel aus (p/2)² - q

wäre dann: (Hier rechne ich mit dem Taschenrechner erst die Wurzel aus)
7,33334/2 + wurzel aus (7,33334/2)² - 2,66667 = 6,9496

7,33334/2 - wurzel aus (7,33334/2)² - 2,66667 = 0,3837

in den Taschenrechner wie folgt eingetippt:
--7,33334/2- [Wurzel] ((7,33334/2)²-2,66667)
__________________________________________________________________
Wendestelle:
Um die Wendestelle zu berechnen muss man 3. Mal ableiten.
Dabei wird die 2. Ableitung = 0 gesetzt und die 3. muss ungleich 0 sein

1. Ableitung
f'(x) = 1,5x² -11x + 4

2. Ableitung
f''(x) = 3x - 11

3. Ableitung
f'''(x) = 3


f''(x) = 3x - 11 = 0 | + 11 (damit x alleine steht)

f''(x) = 3x = 11 | /3 (wäre ja dann hier die 11 drittel)
f''(x) = x = 3,66667

wenn ich mich richtig erinnere muss ich nun die 3,66667 als x in die erste Gleichung einsetzen. also:
f'(x) = 1,5x² -11x + 4 = -16,16667
f'(x) = 1,5x² -11x + 4 = -16,16667

hab hier einmal mit den normalen dezi zahlen gerechnet und beim 2. mal die a b/c taste beim rechner benutzt, damit ich einfach 11 drittel eingeben kann

Wäre das so richtig?
Wie hast du herausgefunden das es nur eine Wendestelle gibt (falls ich das richtig verstanden habe). Bin nämlich von 1+ ausgegangen.


Und danke nochmal für die Hilfe Freude
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte doch eine Bitte formuliert:

Zitat:
Verwende doch bitte Brüche statt willkürlich gerundete Dezimalzahlen.


Leider sehe ich davon überhaupt nichts. Also noch einmal: Bitte benutze in Zukunft den Formeleditor. Auch wenn es am Anfang etwas mehr Arbeit für dich und es somit zeitintensiver ist, erleichtert es den Helfern und Lesern hier. Du möchtest sicherlich eine gut leserliche Antwort bekommen. Da sollte man sich selber auch etwas Mühe geben.

Dann passieren auch keine Rundungsfehler, wie es hier passiert ist:



Wo da deine 4 am Ende herkommt ist mir schleierhaft.

Zitat:
wäre dann: (Hier rechne ich mit dem Taschenrechner erst die Wurzel aus)
7,33334/2 + wurzel aus (7,33334/2)² - 2,66667 = 6,9496

7,33334/2 - wurzel aus (7,33334/2)² - 2,66667 = 0,3837

in den Taschenrechner wie folgt eingetippt:
--7,33334/2- [Wurzel] ((7,33334/2)²-2,66667)


Das habe ich nicht gelesen, wenn du möchtest, dass ich mir diesen Teil noch mal durchlese, dann schreibe es sauber mit Latex auf. Die Ergebnisse hast du ja aber schon von Dopap bekommen und kannst selber überprüfen. Ich hatte dich eigentlich nur noch um Überprüfung der hinreichenden Bedingung und den entsprechenden Funktionswert gebeten, davon sehe ich leider nichts.

Zitat:
wenn ich mich richtig erinnere muss ich nun die 3,66667 als x in die erste Gleichung einsetzen. also:


Du bestimmt den Funktionswert, also setzt du deine Stelle in die Funktion ein, und nicht in die Ableitungsfunktion .

Zitat:
Wie hast du herausgefunden das es nur eine Wendestelle gibt (falls ich das richtig verstanden habe). Bin nämlich von 1+ ausgegangen.


Den letzten Satz verstehe ich nicht. Den ersten hast du selber beantwortet:

Zitat:
Wendestelle:
Um die Wendestelle zu berechnen muss man 3. Mal ableiten.
Dabei wird die 2. Ableitung = 0 gesetzt und die 3. muss ungleich 0 sein


Du hast doch diese Gleichung gelöst. Da sie nur eine Lösung besitzt, gibt es eben eine Wendestelle.

Wink
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

\frac{22}{3}/2 \pm \sqrt{(\frac{22}{3})^{2} - \frac{8}{3} }

x1 = 6,9496
x2 = 0,3837

Hoffe mal das ist gut so.
__________________
Zitat:
Original von Mathema
Den letzten Satz verstehe ich nicht.


Weil in der Aufgabe stand das es sich um Wendestellen handelt und halt nicht nur um eine Wendestelle

__________________

Funktionswert:





hab das dann auch genau so in den Rechner eingetippt.

Die \frac{11}{3} habe ich von der 2. Ableitung übernommen
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ok - ich sehe dein Bemühen. Freude

Schreiben wir es noch mal sauber auf:





Jetzt fehlt also noch die hinreichende Bedingung:





Und die Funktionswerte:





Zitat:


Das sieht gut aus (bis auf =, da wir runden benötigen wir )

Wir haben also einen Wendepunkt W(3,67|-24,63).

So jetzt noch deine Extrema berechnen und dann kannst du zeichnen.



Wink
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

nabend,
okay ich versuche es mal

Nullstellen
-1
2
10

wenn mich nicht alles täuscht muss ich jetzt 0,3837 und 6,9496 in die Funktion einsetzen



(10,7533|0,3873) <<= Hochpunkt



(-60,0125|6,9496) <<= Tiefpunkt


die Zahlen sehen zwar eigenartig aus, aber Stimmen mit dem Graphen überein... also denke ich das es richtig ist.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das sieht doch nicht schlecht aus. Freude

Bei deinem Tiefpunkt hast du falsch gerundet (-60,0126) und nutze bitte (wie schon einmal erwähnt) anstatt "=" das Zeichen .

Gut - dann mal viel Spaß beim Zeichnen.

Wie sieht es mit c) und d) aus? Aufgaben klar? Wenn nicht müsstest du da noch mal Fragen stellen bzw. eigene Ansätze oder Ideen liefern. Ich bin nun allerdings erstmal weg, es darf also gerne jemand anderes helfen, falls du heute Abend noch weiterarbeiten möchtest.

Wink
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Ich blicke hier leider nicht durch wie ich das in dem Forum zeichnen soll.
Jedenfalls habe ich die Koordinaten eingetragen und die nullstellen markiert.

Der Graph sieht dann so aus wie bei dir. Naja in etwa, ich habe halt nen anderen Maßstab benutzt.
Kann ich davon ausgehen das das richtig war?

c1)
Zitat:
Nach welchem Zeitraum in Monaten kann wieder mit einem steigenden Absatz gerechnet werden? Bezugspunk hierfür ist die Maximalstelle. Eine Einheit auf der x Achse entspricht dabei einem Monat


Mit steigendem Absatz kann man ab dem 7. Monate rechnen bzw. am ende des 6. Monats


hier war:
x1 = 6,9496 <===
x2 = 0,3837

Ich nehme hier x1, weil x1 das Minimum ist und ab da der Absatz wieder steigt.


c2)
Zitat:
Überprüfe rechnerisch ob es Stellen gibt, an denen der Funktionsgraph die Steigung m = 4 hat.


Bräuchte ich nochmal hilfe.

Zitat:
Berechnen Sie die Fläche F1 im Bereich x=1 bis x=10, die zwischen dem Graphen f und der x Achse liegt


Bin mir nicht sicher.
Aber die Flächenformel ist doch "0,5 · a · h"
demnach:
a = 10-2 ==> 8
und h = 60,0125
0,5 · 8 · 60,0125 = 240,05
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich blicke hier leider nicht durch wie ich das in dem Forum zeichnen soll.


Du sollst das nicht hier zeichnen, sondern in dein Heft.

Zitat:
Kann ich davon ausgehen das das richtig war?


Ja.

Zitat:


Das stimmt so nicht, vergleiche noch mal bitte mit meinem Beitrag!

Gibt es eigentlich noch einen Text vor der Aufgabe a)? So einer der z.B. anfängt mit: Die Funktion f beschreibt.... Es scheint ja um irgendeinen Absatz zu gehen.

c) machen wir denn danach und d) ist verkehrt.
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Text:
Du arbeitest für eine Firma, welche Elektronik-Bauteile vertreibt.
Durch die Auswertung der eigenen statistischen Unterlagen hat sich gezeigt, dass der Absatz des Bauteils EE3000x in letzter Zeit rückläufig ist.
Untersuchungen haben gezeigt, dass der Absatz durch eine ganz-rationale Funktion dritten Grades mit folgender Funktionsgleichung beschrieben werden kann:

Allerdings muss ich ehrlich sagen, dass ich nicht weiß wie ich das mit deinem Beitrag vergleichen soll.
Ich versuche auch grade meine Fehler zu finden... aber ich komme einfach nicht drauf
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Schreiben wir es noch mal sauber auf:





Guck dir mal an, was unter der Wurzel steht.

Aha Ok - also gibt f(x) den Absatz an und x die Zeit. Zwischen Maximalstelle und Minimalstelle liegen wir ja etwa bei 6,5. Das können wir wohl dann als Ergebnis nehmen.

Dann zu c2:

Welche Funktion brauchen wir für die Steigung?
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

unter der Wurzel steht ne 3



Ich denke das wir die normale FUnktion brauchen. Also die erste.
jedoch klingelt auch grade etwas mit
"y=mx+b" ... welches ja dann irgendwie auf die 2. Ableitung deuten könnte
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
unter der Wurzel steht ne 3


verwirrt

Herrje, dann noch einmal:

Von mir:



Von dir:



Finde den Fehler!


Zitat:
Ich denke das wir die normale FUnktion brauchen. Also die erste.


unglücklich

Zitat:
jedoch klingelt auch grade etwas mit
"y=mx+b" ... welches ja dann irgendwie auf die 2. Ableitung deuten könnte


Dann lass es klingeln, nicht rangehen. Auch das ist verkehrt!

Es ist gerade die erste Ableitung, welche die Steigung angibt. Du musst also folgende Gleichung betrachten:



Wink
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

1,5x²-11x+4 = 4 <<- Das ist dann die Steigung

1. Versuch
1,5x²-11x+4 = 4 | -4
1,5x² -11x = 0 | /1,5
x² - 7,333x = 0 | + 7,333x
x² = 7,333x |[\sqrt{2} ]
x = 2,7079 ... das sieht aber noch großem mist aus und ich kann mir nicht vorstellen das es richtig ist.
Klo

Das ich die Gleichung = 4 setzen muss verstehe ich ja. Aber ich weiß halt nicht mehr wie es weiter geht. Ich suche mal morgen in meinen Unterlagen und hoffe das ich was finde. Mein Hilfezettel ist ja jetzt schon ziemlich lang
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
das sieht aber noch großem mist aus


So ist es!

Zumal du doch schon begonnen hattest, hier mit dem Formeleditor zu arbeiten. Wieso nun wieder 7,333 anstatt ? Da vergeht mir langsam die Lust...

Bis hier sieht es doch gut aus:





Jetzt ausklammern und überlegen, wann ein Produkt 0 ergibt.

Wink
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »



Originalformel um x1/x2 einzusetzen

habs genau so dann in den rechenr getippt
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Na - das sieht doch wunderbar aus! Freude

Wieso nicht gleich so?

Zwei Anmerkungen:

Zitat:
Originalformel um x1/x2 einzusetzen

habs genau so dann in den rechenr getippt


Zunächst einmal benötigen wir den Funktionswert überhaupt nicht, da nur nach der Stelle gefragt ist. Bei einem Punkt P(x|y) ist x ja die Stelle und y der Funktionswert an entsprechender Stelle. Bei a) war ja auch nach Stellen gefragt, aber da wir für die Zeichnung den Punkt benötigten, haben wir den Funktionswert eben dort auch berechnet. Das brauchen wir hier nicht.

Wenn du das aber machen möchtest, dann schreibst du nicht f(x)=... ,sondern:



bzw.



Dann geht´s also zur letzen Aufgabe. Dafür benötigen wir die Stammfunktion. Kannst du diese bilden?
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

also die Stammfunktion würde ja wider mit einem starten...
aber hier hört es dann auch auf.
Hatte ja die Tage versucht etwas mit nem 3eck zu machen... aber das war falsch

edit:
kommt jetzt das zeug mit "Integralrechnung"?
Das wird ja spaßig
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - du hast doch den Graphen gezeichnet und hier im Thread ist er auch noch zu bewundern. Wo siehst du da ein Dreieck zwischen Graph und x-Achse?

Die Stammfunktion bekommt ein großes f, heißt also .

Weißt du überhaupt was eine Stammfunktion ist bzw. hast du mal integriert? Ansonsten würde ich mal die Frage stellen, wo du diese Aufgabe her hast bzw. wer von dir erwartet, dass du diese lösen sollst?
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je integrale.
Stammfunktion kenne ich nur vom Namen her.
Integriert haben wir 1 mal im Unterricht und danach nicht mehr.
Habe eigentlich gehofft das ich das niemals brauchen werde.
lese mir im Moment einen text über die Stammfunktion durch.
Mathebibel
Hoffe mal das ist nicht so kompliziert wie ich vermute
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ok - dann informiere dich mal. Das Wort "Aufleiten" kannst du aber bitte gleich wieder vergessen, wenn du den Text durchgelesen hast!

Und dann probiere mal die Stammfunktion zu bilden. Ich gucke mir das denn an.
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »








so wie ich das verstanden habe ist das quasi umgekehrtes ableiten.
aus 0,5³ wurde 4/0,5^4.

Aber bei der 11 hapert es grade.

würde ja bedeuten das ich rechnen müsste und später dann eine ³ hinter die Zahl stelle.
3 geteilt durch 5,5 wären 0,54545
Aber bei dem Bruch hab ich da ein Problem
bzw außer ich kann daraus eventuell das lässt sich einfacher teilen.
... tja das war ein Schuss in den Ofen und jetzt bin ich verwirrt.

Ich lasse das jetzt erstmal so:

Hätte da aber lieber nen Bruch :/
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hätte da aber lieber nen Bruch


Ich auch - zumal deine Dezimalzahl verkehrt ist. Außerdem hatte ich doch gesagt, dass die Stammfunktion heißt!

Zitat:
3 geteilt durch 5,5 wären 0,54545


Komisch - du dividierst hier genau verkehrt herum, bei deinen restlichen Gliedern hast du es ja richtig gemacht?!

Gucken wir uns also mal an wie wir einen Bruch bekommen:






Jetzt nur noch die Brüche multiplizieren. Wie lautet nun also die Stammfunktion korrekt?
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathema
Zitat:
Hätte da aber lieber nen Bruch


Ich auch - zumal deine Dezimalzahl verkehrt ist. Außerdem hatte ich doch gesagt, dass die Stammfunktion heißt!

Zitat:
3 geteilt durch 5,5 wären 0,54545


Komisch - du dividierst hier genau verkehrt herum, bei deinen restlichen Gliedern hast du es ja richtig gemacht?!

Gucken wir uns also mal an wie wir einen Bruch bekommen:






Jetzt nur noch die Brüche multiplizieren. Wie lautet nun also die Stammfunktion korrekt?


Naja das dürfte ja einfach gehen.



stimmt das so oder hab ich wieder nen Fehler gemacht?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Und hattest du doch schon gekürzt.
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

ups da habe ich addiert... oder mich vertippt


= 2
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar Freude

Na dann - Endspurt. Um die Fläche zwischen Graph und x-Achse zu berechnen integrieren wir nun im angegeben Intervall. Wir müssen aber aufpassen, dass wir nicht über eine Nullstelle integrieren. Hier haben wir ja noch eine Nullstelle bei x=2. Außerdem müssen wir bei Flächen, welche unterhalb der x-Achse liegen, den Betrag bilden. Unsere Fläche berechnet sich also wie folgt:



Für die erste Teilfläche mache ich es dir nun einmal vor:



Nun setzen wir zunächst die obere Grenze ein und subtrahieren anschließend den Term mit eingesetzter unterer Grenze:

Also:



Prinzip klar?

Dann berechne mal die zweite Fläche und bilde anschließend die Summe.
snick3rs Auf diesen Beitrag antworten »

was ist dieses

das verstehe ich grade nicht
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Guckst du hier.
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