Lineare Abhängigkeit - Unbekannter Parameter

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13.04.2015, 12:07	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit - Unbekannter Parameter Meine Frage: Hallo zusammen, sitze gerade vor folgender Aufgabe: Wie muss $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gewählt werden, damit die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a\\1\\3\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ linear abhängig sind? Meine Ideen: Mit der Determinanten = 0 setzen, bekomme ich es hin. Allerdings sollen wir es ohne Determinanten und Spatprodukt berechnen. Meine Idee mit dem Spatprodukt war: Drei Vektoren $\begin{eqnarray} \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ sind ja linear abhängig, wenn sie komplanar sind. Wenn das Spatprodukt = 0 ist, dann sind sie komplanar. Aber wie gesagt: Alles ohne Determinante und Spatprodukt. Hat jemand einen anderen Ansatz für mich?
13.04.2015, 12:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwende die Definition von linear (un)abhängig und löse das entstehende Gleichungssystem auf.
13.04.2015, 14:09	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vektoren muss ich nochmal korrigieren, da hat sich ein Fehler eingeschlichen: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}1 \\2 \\a\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 \\1 \\3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}a \\3 \\1\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ (Zahlendreher) Nach der Definition für lineare Abhängigkeit muss ja gelten: $\begin{eqnarray} <br /> \lambda_{1}\overrightarrow{a_{1}} + \lambda_{2}\overrightarrow{a_{2}} + ... + \lambda_{n}\overrightarrow{a_{n}} = 0<br /> \end{eqnarray}$ Und es existieren $\begin{eqnarray} \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} \end{eqnarray}$ die nicht alle = 0 sind. Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} <br /> \lambda_{1} + 2 \lambda_{2} + a\lambda_{3} = 0 \\<br /> 2\lambda_{1} + \lambda_{2} + 3\lambda_{3} = 0 \\<br /> a\lambda_{1} + 3 \lambda_{2} + \lambda_{3} = 0 \\<br /> \end{eqnarray}$ Allerdings komme ich persönlich, bei diesem Gleichungssystem, nicht voran.
13.04.2015, 14:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gehst du denn typischerweise vor, wenn da kein Parameter a stünde?
13.04.2015, 14:55	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde es in eine Matrixschreibeweise bringen und durch umformen in eine Dreiecksmatrix (So das ich unten links die Nullen stehen habe) daraus machen. Aber wie bekomme ich den Parameter a auf 0?
13.04.2015, 15:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst das gleiche wie sonst auch: addiere beispielsweise ein geeignetes Vielfaches der 1. Zeile zur 3. Zeile, so daß in der 3. Zeile an der ersten Stelle eine Null steht.
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13.04.2015, 15:45	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich denn eine Unbekannte durch addieren eliminieren?
13.04.2015, 15:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du z.B. die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} -(2) \end{eqnarray}$ multiplizierst und auf die zweite Gleichung addierst, dann entsteht die gewünschte Null. Um die Null in der dritten Zeile zu erzeugen multiplizierst du die erste Gleichung also mit...?
13.04.2015, 16:16	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Denkhilfe ! Bin nun weiter als vorher. Allerdings hocke ich nur vor folgendem: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 2 & 1 & 3 & \|0\\ a & 3 & 1 & \|0\end{pmatrix}\rightarrow^{II - (-2)I}\begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 0 & -3 & 3-2a & \|0\\ a & 3 & 1 & \|0\end{pmatrix}\rightarrow^{III - aI}\begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 0 & -3 & 3-2a & \|0\\ 0 & 3-2a & 1-a^2 & \|0\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ 1.) Frage: Liege ich soweit richtig? 2.) Frage: Wie bekomme ich in der 3. Zeile die "3-2a" weg?
13.04.2015, 16:27	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit sieht alles gut aus, allerdings meinst du im ersten Schritt $\begin{eqnarray} II+(-2)I \end{eqnarray}$ . Wenn man jetzt keine "schöne" Möglichkeit sieht, um die zweite Null zu erzeugen, bietet sich immer noch das gegenseitige Multiplizieren an, sprich: zweite Gleichung mit dem gewünschten Koeffizienten der dritten Gleichung, dritte Gleichung mit dem Koeffizienten der zweiten Gleichung multiplizieren und entsprechend subtrahieren.
13.04.2015, 16:48	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt das Ergebnis! (Hoffe ich, wäre lieb, wenn ihr mir zustimmen könntet ) $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 2 & 1 & 3 & \|0\\ a & 3 & 1 & \|0\end{pmatrix}<br /> \rightarrow^{II + (-2)I}\begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 0 & -3 & 3-2a & \|0\\ a & 3 & 1 & \|0\end{pmatrix}<br /> \rightarrow^{III - aI}\begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 0 & -3 & 3-2a & \|0\\ 0 & 3-2a & 1-a^2 & \|0\end{pmatrix}<br /> \rightarrow^{III -3 \ II * (3-2a)}\begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 0 & 6a-9 & (3-2a)^2 & \|0\\ 0 & 6a-9 & 3a^2-3 & \|0\end{pmatrix}<br /> \rightarrow^{III - II}\begin{pmatrix}1 & 2 & a & \|0 \\ 0 & 6a-9 & (3-2a)^2 & \|0\\ 0 & 0 & a^2-12a+12 & \|0\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Aus der 3. Zeile kann ich ja folgendes folgern: $\begin{eqnarray} <br /> a_{1} = 6-2\sqrt{6} \\<br /> a_{2} = 6+2\sqrt{6}<br /> \end{eqnarray}$ Das heißt, die 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn $\begin{eqnarray} a = a_{1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a = a_{2} \end{eqnarray*}$ eintritt, richtig?
13.04.2015, 17:37	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt.
13.04.2015, 17:44	Daniel Christoph	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu, vielen Dank.

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