Rang von Matrizen

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totti Auf diesen Beitrag antworten »
Rang von Matrizen
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zur Bestimmung des Rangs von Matritzen.
Und zwar lautet die Aufgabenstellung wie folgt:
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von den Rang der Matrix:



Meine Ideen:
Da ja gilt in dem Fall: Quadratische Matrizen sind genau dann regulär, wenn ihre Determinante von Null verschieden ist.
Da die quadratische Matrix 3 Zeilen bzw. 3 Spalten besitzt und ihre Determinante ungleich Null ist, hat die Matrix den Rang 3.
Aber dafür muss ich ja erst einmal die Determinante ausrechnen. Nur wie ich mache ich das, da t ja variabel ist?
Muss ich da erst alle Eigenwerte und Eigenräume ausrechnen?!
Oder wie muss ich da vorgehen?

Danke im voraus
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rang von Matrizen
Ich denke, daß du weißt, wie man eine Determinante ausrechnet. Mit Eigenwerten und Eigenräumen hat das nichts zu tun.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das weiß ich. Und dem Fall würde ich die Regel von Sarrus anwenden.

Dementsprechend wenn ich mich nicht verrechnet haben sollte, komme ich auf eine
Determinate von :


Gut muss ich dann jetzt die t rausfinden wo die Gleichung Null wird? Und dann sagen das die Matrix den Rang 3 hat, außer wenn
denn das wäre sie linear von t Abhängig und die Determinante also 0. Sprich wenn sie dann linear Abhängig sind, ist der Rang der Matrix 0?!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von totti
Sprich wenn sie dann linear Abhängig sind, ist der Rang der Matrix 0?!

Wenn der Rang der Matrix Null wäre, müßte es die Null-Matrix sein. Das ist eher unwahrscheinlich.
Du mußt für jede Nullstelle der Determinante (die ich nicht nachgerechnet habe) den Rang der Matrix separat ausrechnen. smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von totti



Ich war mal so frei und habe es mal in Wolfram Alpha getippt. Richtig wäre
, also bis auf 1 Vorzeichen im quadratischen Term das gleiche wie vorher.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Ja den VZ-Fehler habe ich auch grade entdeckt...
weil mir das in wenig spanisch vorkam habe ich meine Rechnung nochmals überprüft...
 
 
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, auch die Nullstellen habe ich berechnet.

einmal komme ich auf eine Nullstelle mit dem Wert 1
die anderen beiden sind jedoch sehr merkwürdig.

Denn berechne ich jetzt jedesmal den Rang der Matrix für jede Nullstelle der Det., komme ich einmal (wenn ich jetzt 1 für t einsetzte) auf die det=-3
Bedeutet, da ich ja eine quadratische Matrix habe, dass sie nicht linear abhängig ist, und dementsprechend der Rang 3 ist.

Bei den anderen beiden Nullstelen die ich für t eingesetzt habe () komme ich auf Determinanten die fast 0 sind. Also was mit 10^-8 und 10^-10...
Ist ja trotzdem ungleich null, also auch Rang 3?

Das kommt mir iwie spanisch vor. Diese anderen beiden Werte, konnte ich allerdings nur mit dem TR ermitteln. Und das ist schon ein wenig merkwürdig, denn normalerweise stellt der Prof die Aufgaben mit schönen Ergebnissen, weil wir alles i.d.R ohne TR machen...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die 3 Nullstellen des reellen Polynoms sind reelle Zahlen. 1 ist zufällig eine rationale reelle Zahl, die beiden anderen Nullstellen sind nicht rational, also unendliche und nicht endliche Dezimalzahlen. Sie heißen Nullstellen, weil der Wert der Polynomfunktion an diesen Stellen 0 wird. Nicht -3 und auch nicht ungefähr 0, sondern 0, also genau 0. Big Laugh
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis meint, die nichtrationalen Nullstellen sind:



und zwar exakt. Ich denke das ist gefordert.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn man in der Schule gelernt hat, wie man quadratische Gleichungen löst, kann man das mit Wurzeln ganz exakt machen. Manch ein Professor setzt gelegentlich Schulwissen voraus.
totti Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, aber das ist mir schon klar.

Ich wollte auch ungefähr schreiben. Aber das meinte ich damit natürlich nicht.

Mit dem Wert -3 meine ich, das Ergebnis auf welches ich für die Determinante komme, wenn ich 1 (eine der 3 Nullstellen der Determinatengleichung) für das t in meine Matrix einsetze. So wie es mir klarosoweit gesagt hat.

Zitat:
Du mußt für jede Nullstelle der Determinante (die ich nicht nachgerechnet habe) den Rang der Matrix separat ausrechnen.


Und das habe ich für einen Fall getan.
Und wenn ich das richtig mit dem Rang verstanden habe, ist dies bei quadratischen Matritzen so, wenn der Wert der Determinante ungleich 0, dass sie den rang 3 besitzt.
Ergo: 1.Fall -> Ergebnis der Det = -3...Also hat die Matrix für diesen Fall den Rang 3?!


Nur die anderen beiden Nullstellen den Determinante kamen mir ungewöhnlich vor.
Und ich habe im übrigen die Gleichung so gelöst.
Triviale Nullstelle 1.
Dann Polynomdivision
Dann pq-Formel
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von totti
Und das habe ich für einen Fall getan.
Und wenn ich das richtig mit dem Rang verstanden habe, ist dies bei quadratischen Matritzen so, wenn der Wert der Determinante ungleich 0, dass sie den rang 3 besitzt.
Ergo: 1.Fall -> Ergebnis der Det = -3...Also hat die Matrix für diesen Fall den Rang 3?!

Verstehe jetzt nicht, was du da gemacht hast. Was ist mit "1. Fall" gemeint? Die erste Nullstelle (t=1) des kubischen Polynoms? Dann muß die Determinante Null sein (das ist nun mal so bei Nullstellen) und der Rang ist dann eben nicht 3.
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