Lineare Abbildung einer Matrix

13.04.2015, 23:15	BissleBlöd	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung einer Matrix Also ich hab folgendes [attach]37731[/attach] Ich versteh es einfach nicht. inormalerweise schreib ich einfach rein was ich genau nicht verstehe, aber hier weiß ich nicht ganz so recht wo ich anfangen soll. vielleicht könnte mir jemand es schrit für schritt erklären. Was ich bisher verstanden habe dass man 2 vekotren aufeinandermittels einer matrix abbilden möchte. worans erstmal scheitert ist die aufgeführte eigenschaft die ich nicht nachvollziehen bzw. verstehen kann. auch woer auf einmal das koordinatentupel her kommt also bei der eigenschaft nehmen wir die summe jedes basisvektors und einen koeffizienten aus. das ergibt dann die summe der basen des zweiten vekorraums auch ausgestattet mit einem koeffizienten was gleichbeudetnd ist, dass wir eine matrix (hier versteh ich nicht warum bezüglich B, was das heißen soll) und multiplizieren die mit einem (beliebigen?) vektor so dass ein anderer vektor rauskommt für hilfe wär ich sehr dankbar
14.04.2015, 10:27	Thomas Wening	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das ist eigentlich ganz einfach. $\begin{eqnarray} M_{C}^{B}(F)\in Mat_{n\times m}(\mathbb{K}) \end{eqnarray}$ sei die darstellende Matrix einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} F:V\rightarrow W \end{eqnarray}$ , wobei V,W K-Vektorräume mit den Basen $\begin{eqnarray} B=(b_{1},\cdots,b_{n}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C=(c_{1},\cdots,c_{m}) \end{eqnarray}$ respektive. Dann sind die Spaltenvektoren dieser darstellenden Matrix genau die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren von V unter F. Die Koordinaten bzgl. der Basis von W wohlgemerkt. Beispiel: $\begin{eqnarray} F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2},(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\mapsto(x_{1}+x_{2}+x_{3},x_{3}-x_{2})^{T} \end{eqnarray}$ sei eine lineare Abbildung zwischen dem Standardvektorraum 3 nach 2. Sei $\begin{eqnarray} B=(e_{1},e_{2},e_{3}) \end{eqnarray}$ die kanonische Standardbasis von R3 und $\begin{eqnarray} C=\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray}$ die Basis von R2. Zunächst berechnet man die Bilder der Vektoren aus B unter F aus. Man erhält: $\begin{eqnarray} F(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F(e_{1})=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wäre die Basis von R2 die kanonische Standardbasis, so wären wir hier schon fertig. Die darstellende Matrix wäre $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , wie man leicht nachprüfen kann. Damit wir jedoch die Matrix bzgl. der Basen B und C erhalten, so müssen wir die Koordinaten der Bilder von B unter F bzgl. der Basis C berechnen. In anderen Worten: Wir müssen nun jedes Bild von B unter F als Linearkombination der Basisvektoren aus C darstellen. Man erhält: $\begin{eqnarray} F(e_{1})=\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F(e_{2})=-\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F(e_{3})=1c_{1}+0c_{2} \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} M_{C}^{B}(F)=\begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bilden wir einmal $\begin{eqnarray} e_{1}\in B \end{eqnarray}$ unter F ab: Wir erhalten $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . So muss es sein, denn wir hatten bestimmt: $\begin{eqnarray} F(e_{1})=\frac{1}{2}c_{1}+\frac{1}{2}c_{2} \end{eqnarray}$ . Viele Grüße Thomas
14.04.2015, 10:32	Thomas Wening	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Tipp: Denke Dir mal ein paar lineare Abbildungen zwischen Standardvektorräumen, also Rn und Rm aus und berechne nach dieser Vorgehensweise die darstellende Matrix für verschiedene Basen. Ehrlich gesagt, habe ich das erst beim Schreiben meiner Antwort richtig verstanden, was es dabei mit den Basen auf sich hat. Viel Erfolg!
14.04.2015, 21:12	BissleBlöd	Auf diesen Beitrag antworten »
oje ich danke dir für deine echt tolle ausfühlriche antwort und mich beschämt es förmlich dass zu sagen aber leider haben wir das thema erst neu angefangen und ich konnte recht wenig verstehen da einige de rbegriffe und schreibweisen wir noch gar nicht hatten. vielleicht fang ich einfach damit an was ich bisher weiß bzw wie weit ich gekommen bin und frage schritt für schritt bevor ich die nächste frage stelle. die koordinaten sind die koeffizienten einer linearkombination von basen. jeder Basisvektor von W (also Element von C) kann durch eine linearkombination von den Vektoren bezüglich B gebildet werden. $\begin{eqnarray} f(c_j)=\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k \vec{b}_k \end{eqnarray}$ (hier warum $\begin{eqnarray} f(c_j)= \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} c_j= \end{eqnarray}$ ? ) die koeffizienten sind die koordinaten. diese können wieder als vektor geschrieben werden $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ . \\ . \\ . \\ a_k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (frage hier: die dimension also die anzahl der elemente jedes vektors bezüglich der Basis B muss doch gleich viele elemente haben wie der Vektor $\begin{eqnarray} c_j \end{eqnarray}$ ? ) macht man das für fpr alle elemente hat man eine matrix $\begin{eqnarray} f(c_j)=\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k \vec{b}_k \end{eqnarray}$ ist dabei die j-te Spalte hoffe das ist soweit richtig woran ich jetzt erstmal scheitere ist das $\begin{eqnarray} \phi (\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k \vec{b}_k )= \sum\limits_{k=1}^{n} \beta_j \vec{c}_j \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k \vec{b}_k \end{eqnarray}$ ist dabei ein vektor der aus linearkombinatonen der Basis von B entsteht. Diesen Vektor kann man aus linearkombination von der Basis von C bekommen $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \beta_j \vec{c}_j \end{eqnarray}$ wie muss ich das verstehen? oben haben wir ein einzelnen vektor aus der basis hier eine ganze linearkombination der basis von C
15.04.2015, 16:42	BissleBlöd	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe ich jetzt richtig verstanden dass : $\begin{eqnarray} \phi (\sum\limits_{k=1}^{n} \alpha_k \vec{b}_k )= \sum\limits_{k=1}^{n} \beta_j \vec{c}_j \end{eqnarray}$ aussagt, jeder Vektor der aus linearkombination der Basis von B entsteht kann durch eine linearkombination der Basisvektoren von C dargestellt werden. Was genau sind die Bilder basisvektoren? zu deinem Beispiel: $\begin{eqnarray} F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2},(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}\mapsto(x_{1}+x_{2}+x_{3},x_{3}-x_{2})^{T} \end{eqnarray}$ was beutet das genau jetzt? die Vektoren x1 x2 x3 werden durch folgende Funktion abbgebildet. wie muss ich das interpretieren? ist das jetzt die funktionsvorschrift?

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