Lösen von Gleichungen höheren Grades

14.04.2015, 17:28

Aths

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Lösen von Gleichungen höheren Grades

Hallo, ich habe hier 3 Gleichungssysteme, wovon ich 2 gelöst habe. Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn man überprüfen könnte, ob die 2 Gleichungssysteme richtig gelöst sind.

$\begin{eqnarray*} \frac {- 1}{2}x^{4}+ 7x^{2}- 24=0 \end{eqnarray*}$

Ich habe die Aufgabe per Substitution gelöst.

x^2=u

Damit lautete die Gleichung: -1/2u^2+7u-24=0

Durch die Anwendung der abc-Formel habe ich unter der Wurzel 1 herausbekommen, wodurch meine Lösungen lauten:

x1= Wurzel aus 6
x2= Wurzel aus 8
x3= -Wurzel aus 6
x4= -Wurzel aus 8

Die andere Gleichung lautete: $\begin{eqnarray*} \frac{3}{8}x^{4}+ \frac{3}{2}x^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Auch hier wurde die Substitution gemacht.

Damit lautet die Gleichung nun 3/8u^2+3/2u=0

Da unter der Wurzel das Ergebnis 3/2 lautet gibt es nur eine Lösung:

-3/2-3/2= -3/0,75= -4

Bei dem anderen Gleichungssystem habe ich noch keine Lösung. Es lautet folgendermaßen:

(x^2-16)(x^2+4)(2x-0,5)=0

So habe ich die Klammer aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} x^{4}+ 2x^{3}-12,5x^{2}+8x-66=0 \end{eqnarray*}$

Sind die Klammern so richtig aufgelöst? Ich kenne nun nicht den Lösungsweg.

Ich hoffe, dass ich die Aufgaben übersichtlich dargestellt habe, ansonsten würde ich euch bitten, mich darauf hinzuweisen.

14.04.2015, 17:37

Helferlein

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Die erste hast Du richtig gemacht. Bei den anderen beiden ist Substitution überhaupt nicht notwendig. Für die zweite empfiehlt sich Ausklammern von x², für die dritte der Nullproduktsatz. (Wann ergibt ein Produkt von mehreren Zahlen Null?)

14.04.2015, 17:37

Mi_cha

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1) Vorgehensweise und Lösung stimmen Freude

Freude

2) hier ist Substitution nicht notwendig. Klammere stattdessen x^2 aus.
3) bitte die Klammern nicht ausmutliplizieren. Zumal deine Rechnung nicht sitmmt. Kennst du den Satz vom Nullprodukt?
Damit lässt sich diese Aufgabe schnell lösen.

edit: und raus Wink

Wink

15.04.2015, 18:52

Aths

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Vielen Dank für eure schnellen Antworten. Das Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt verstehe ich noch nicht richtig, könnt ihr mir da Lösungsansätze geben?

15.04.2015, 18:58

Mi_cha

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Der Satz vom Nullprodukt sagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

zu 2) wenn du $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, erhältst du

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2})=0 \end{eqnarray*}$

Nun hast du ein Produkt aus $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und der Klammer. Setze beides Null, um die Lösung zu erhalten.

15.04.2015, 21:04

Aths.

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Zitat:

Original von Mi_cha
Der Satz vom Nullprodukt sagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens ein Faktor Null ist.

zu 2) wenn du $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, erhältst du

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2})=0 \end{eqnarray*}$

Nun hast du ein Produkt aus $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und der Klammer. Setze beides Null, um die Lösung zu erhalten.

Vielen Dank. Könntest du mir sagen, wie ich es Null setze? Das weiß ich leider nicht.

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15.04.2015, 21:07

Mi_cha

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Naja
$\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac {3}{8}x^2+\frac {3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

15.04.2015, 22:04

Aths

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Zitat:

Original von Mi_cha
Naja
$\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac {3}{8}x^2+\frac {3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

Dankeschön. Und nun kann ich den Satz vom Nullprodukt anwenden? Könntet ihr mir da die Vorgehensweise sagen?

15.04.2015, 22:10

Mi_cha

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Du musst jetzt lediglich noch die zwei Gleichungen lösen. Deren Lösungen ergeben die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung.

15.04.2015, 22:44

Dopap

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Nur am Rande:

Zitat:

Original von Mi_cha
Naja
$\begin{eqnarray*} x^2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac {3}{8}x^2+\frac {3}{2}=0 \end{eqnarray*}$

logisch sauber ist das Wort "oder" zu verwenden, denn sonst entsteht ein NLGS.

Zitat:

Dankeschön. Und nun kann ich den Satz vom Nullprodukt anwenden? Könntet ihr mir da die Vorgehensweise sagen?

Das war der Satz vom Nullprodukt !

16.04.2015, 05:21

Aths

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Zitat:

Original von Mi_cha
Du musst jetzt lediglich noch die zwei Gleichungen lösen. Deren Lösungen ergeben die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung.

Also muss ich die abc-Formel anwenden?

16.04.2015, 07:43

Mi_cha

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Das wäre wie mit Kanonen auf Spatzen schießen, aber wenn du unbedingt willst.

MIt einfachen Umformungen lassen sich die zwei Gleichungen aber ruckzuck lösen.

@Dopap: du hast Recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.04.2015, 14:59

Aths

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Danke, ich habe die Gleichungen nun gelöst. Ich habe nun ähnliche Gleichungen, über welche ihr vielleicht einen Blick werfen könntet.

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+ 12)(x^{2}- 20)(5x+ 15)(10x+ 5)=0 \end{eqnarray*}$

x1= Wurzel aus -12: Nicht möglich?
x2= Wurzel aus 20
x3= -3
x4= -0,5

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{12}x^{4}+\frac{4}{3}x^{2}=0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich die Gleichung mit 12 multipliziert:

$\begin{eqnarray*} 5x^{4}+ 16x^{2} =0 \end{eqnarray*}$

Nun habe ich ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} x^{2}*(5x^{2}+ 16x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}=0 \end{eqnarray*}$

x1/2= 0

$\begin{eqnarray*} 5x^{2}+ 16x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^{2}=-16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}= \frac{-16}{5} \end{eqnarray*}$

x3 wäre somit -16/5, was aber als Ergebnis nicht möglich ist?

Wenn ihr mit der Darstellung von mir nicht einverstanden seid sagt es bitte.

16.04.2015, 15:05

Mi_cha

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wenn du die ursprünglichen Aufgaben gelöst hast und auf das richtige Ergebnis gekommen bist, ok.

zu den neuen Aufgaben:
1) erste Klammer: ja, hier gibt es keine Lösung
2) zweite Klamer: hier muss du aufpassen, denn die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=20 \end{eqnarray*}$ hat zwei lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} x_1=- \sqrt{20} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{20} \end{eqnarray*}$
3) dritte Klammer: ok
4) vierte Klammer: ok

bei der zweite Gleichung hast du vermutlich nur einen Schreibfehler. Nach dem Ausklammern erhältst du $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (5x^2 +16)=0 \end{eqnarray*}$ .
Im weiteren Verlauf deiner Rechnung hast du den Fehler nicht mehr. Nichtsdestotrotz ist hier die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

16.04.2015, 16:46

Aths

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Zitat:

Original von Mi_cha
wenn du die ursprünglichen Aufgaben gelöst hast und auf das richtige Ergebnis gekommen bist, ok.

zu den neuen Aufgaben:
1) erste Klammer: ja, hier gibt es keine Lösung
2) zweite Klamer: hier muss du aufpassen, denn die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=20 \end{eqnarray*}$ hat zwei lösungen, nämlich $\begin{eqnarray*} x_1=- \sqrt{20} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=\sqrt{20} \end{eqnarray*}$
3) dritte Klammer: ok
4) vierte Klammer: ok

bei der zweite Gleichung hast du vermutlich nur einen Schreibfehler. Nach dem Ausklammern erhältst du $\begin{eqnarray*} x^2 \cdot (5x^2 +16)=0 \end{eqnarray*}$ .
Im weiteren Verlauf deiner Rechnung hast du den Fehler nicht mehr. Nichtsdestotrotz ist hier die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Gut, vielen Dank. Aber warum wird aus "hoch 6" vor dem Ausklammern insgesamt nur noch "hoch 4" nach dem Ausklammern?

16.04.2015, 16:56

Mi_cha

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wo steht denn ein "hoch 6"?

Oder meinst du mit "hoch 6" die Summe aus "hoch 4" und "hoch 2"? Diese beiden Exponenten haben aber nichts miteinander zu tun. Und warum nach dem Ausklammern scheinbar weniger Exponenten dastehen, solltest du dir klar machen. Z.B. indem du das ausgeklammerte $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ wieder zurückmultiplizierst.

16.04.2015, 19:44

Aths

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Zitat:

Original von Mi_cha
wo steht denn ein "hoch 6"?

Oder meinst du mit "hoch 6" die Summe aus "hoch 4" und "hoch 2"? Diese beiden Exponenten haben aber nichts miteinander zu tun. Und warum nach dem Ausklammern scheinbar weniger Exponenten dastehen, solltest du dir klar machen. Z.B. indem du das ausgeklammerte $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ wieder zurückmultiplizierst.

Stimmt, vielen Dank, das ist so. Ich hoffe, ich habe immer alles übersichtlich dargestellt.

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