Aufgabe zu Normalverteilung

14.04.2015, 19:41

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe zu Normalverteilung

Hallo,

ich habe ein Problem bei der Bearbeitung folgender Aufgabe.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Flasche die Soll-Füllmenge von 750ml unterschritten wird, soll maximal 6,3% betragen. Man gehe bei der Füllmenge von einer Normalverteilung aus.

1) Auf welche Füllmenge muss die Abfüllanlage eingestellt werden, wenn die Anlage erfahrungsgemäß mit einer Ungenauigkeit von $\begin{eqnarray*} \sigma=3 ml \end{eqnarray*}$ arbeitet?

2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge von 3 Flaschen die Soll-Füllmenge von 2250ml unterschreitet?

Meine Überlegungen:

zu 1: Ich hätte einfach die Ungenauigkeit auf die Füllmenge addiert.
Also 750ml + 3ml ? 753ml

zu 2: Leider keinen Ansatz, oder sinnvolle Überlegung vorhanden

14.04.2015, 22:32

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

1.) die "Ungenauigkeit" ist Sigma =Standardabweichung.

deiner Rechnung nach würde die Zufallsvariable F=Füllmenge um eine Sigma-Einheit nach unten abweichen.

Die Rechnung der Wahrscheinlichkeit ist sehr schwer. Damit das trotzdem geht gibt es die standardisierte Zufallsvariable Z. Diese hat den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu_Z= 0 \end{eqnarray*}$ und die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma_Z=1 \end{eqnarray*}$

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} Z=\frac {F-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ lassen sich F und Z ineinander umrechnen.

Nun wird F durch Veränderung der Füllmenge zur Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$

gesucht ist nun $\begin{eqnarray*} p(F_2\leq 750)=0.065 \end{eqnarray*}$ . Transformiert in Z bedeutet das ebenfalls

$\begin{eqnarray*} p(Z\leq z )=0.065 \end{eqnarray*}$ - das passende z findet man in der Tabelle von Z und erhält z=-1.51

siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Sta...ormalverteilung

kurz gesagt : deine gesuchte mittlerer Füllmenge $\begin{eqnarray*} \mu_{F_2} \quad \text{muss um 1.51 Sigma-Einheiten = 4.53 oberhalb von 750 eingestellt werden.} \end{eqnarray*}$

Die neue Zufallsvariable F2 der Füllmenge hat dann der Erwartungswert 754.3 ml mit der unveränderten Standardabweichung von 3ml.

und jetzt gilt wie gewünscht: $\begin{eqnarray*} p(F_2 \leq 750)=0.065 \end{eqnarray*}$

soweit verständlich?

15.04.2015, 17:09

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach welchem Wert hast du gesucht um auf z=-1.51 zu kommen?

15.04.2015, 17:27

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

die Tabelle gilt wegen Symmetrie nur für $\begin{eqnarray*} z \geq 0 \end{eqnarray*}$

es gilt dann mit x>0 : $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x)=1-0.065 = \boxed{0.935} \Rightarrow x \approx 1.51\Rightarrow z=-1.51 \end{eqnarray*}$

15.04.2015, 18:30

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Annahme für
$\begin{eqnarray*} \mu_{z}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma_{z}=1 \end{eqnarray*}$
Wann und unter welchen Vorraussetzungen kann ich diese Annahme treffen?

15.04.2015, 19:49

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Z ist die Standardnormalverteilung und hat die angegebenen Parameter per Definition.
Die zugehörige Verteilungsfunktion ist $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ . Siehe erste Seite auf meinem Link.

Anzeige

18.04.2015, 19:35

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich habe das grundsätzliche Vorgehen verstanden und komme mit Benutzung der gegebenen Formelsammlung auf den gleichen Rechenweg.

Zur Teilaufgabe b habe ich jedoch noch Fragen.

Annahme:
Füllmenge = Erwartungswert sigma
Soll-Füllmenge = X

So sähe mein Ansatz aus:

$\begin{eqnarray*} p(3\mu<2250)<br /> p(\mu<750)<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt mir an dieser Stelle eine schlüssige Begründung wie ich weiter machen kann.

18.04.2015, 21:06

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn man die dreifache Stichprobe nimmt, dann verdreifacht sich die Standardabweichung nicht, da es einen gewissen Ausgleich zwischen den Stichproben gibt.
Die neue Standardabweichung muss kleiner als das dreifache , aber logischerweise größer wie die von einer Stichprobe sein.

Ich benenne nenne mal $\begin{eqnarray*} F_{3}=3F \end{eqnarray*}$

1.) der Erwartungswert ist ein linearer Operator:

$\begin{eqnarray*} E(F_3)=E(3F)=3E(F)=3\cdot 750 =2250 \end{eqnarray*}$ , ist einleuchtend.

2.) die Varianz ist ebenfalls ein linearer Operator:

$\begin{align*} VAR(F)=\sigma^2 = 9<br /> VAR(F_3) = 3VAR(F) \end{align*}$

kannst du jetzt $\begin{eqnarray*} \sigma_3 \end{eqnarray*}$ , die neue Standardabweichung bestimmen ?

--------------------------------------------------

EDIT: wenn das geklärt ist, dann kümmern wir uns um Aufgabe 2.)

18.04.2015, 22:48

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte dein Rechenschema vom Erwartungswert auf die Standardabweichung übertragen.

$\begin{eqnarray*} <br /> V(F) = \sigma^2 = 9<br /> V(F_{3}= 3V(F) = 3\sigma^2 = 27<br /> <br /> \sigma_{3}=\sqrt{27}<br /> \end{eqnarray*}$

18.04.2015, 23:06

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zu Normalverteilung
ja richtig

Zitat:

1) Auf welche Füllmenge muss die Abfüllanlage eingestellt werden, wenn die Anlage erfahrungsgemäß mit einer Ungenauigkeit von $\begin{eqnarray*} \sigma=3 ml \end{eqnarray*}$ arbeitet?

2) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge von 3 Flaschen die Soll-Füllmenge von 2250ml unterschreitet?

ja, und was ist hier gemeint ? Die erste Füllmenge F mal 3 oder die vergrößerte Füllmenge F2 mal 3 ?

18.04.2015, 23:10

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen, dass die vergrößerte Füllmenge F2 = 754,3ml mal 3 benutzt werden muss

18.04.2015, 23:21

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

einverstanden, denn sonst wäre die Wkt. ohne Rechnung = 50% Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und mit F2 mal 3 kannst du ja jetzt bestimmt selbst rechnen .

18.04.2015, 23:25

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gehe ich mit diesen Informationen weiter vor?

An welcher Stelle wird z.B. das $\begin{eqnarray*} \sigma_{3}=\sqrt{27} \end{eqnarray*}$ einbezogen?

18.04.2015, 23:29

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
[...]

mit der Substitution $\begin{eqnarray*} Z=\frac {F-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ lassen sich F und Z ineinander umrechnen.
[...]

das hatten wir schon mal.

18.04.2015, 23:34

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} <br /> Z=\frac{754,3-750}{27}<br /> Z=0,1592<br /> Z\approx0,16 \equiv 0,5636<br /> \end{eqnarray*}$

18.04.2015, 23:52

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jollepe
$\begin{eqnarray*} <br /> Z=\frac{754,3-750}{27}<br /> Z=0,1592<br /> Z\approx0,16 \equiv 0,5636<br /> \end{eqnarray*}$

verwenden wir kleine Buchstaben für dir Variablen.

f=3x750 und $\begin{eqnarray*} \mu=3\cdot 754.3 \end{eqnarray*}$ nicht anderst herum , $\begin{eqnarray*} \sigma = \color{red} \sqrt {27} \end{eqnarray*}$

damit ist z=...

und $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=... \end{eqnarray*}$

19.04.2015, 00:07

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid für diese schwierige Geburt hier...

$\begin{eqnarray*} <br /> z=\frac{(750*3)-(754,3*3)}{\sqrt{27}}<br /> z=-2,4826<br /> \Phi(-2,4826) = 1-\Phi(2,4826)<br /> \end{eqnarray*}$

Der letzte Schritt macht für mich eher keinen Sinn, daher wahrscheinlich auch falsch.

19.04.2015, 00:16

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ist aber richtig geschockt

geschockt

w.g. Standardnormalverteilung-Tabelle.

19.04.2015, 00:26

jollepe

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} <br /> \Phi(2,4826) = 0,9936<br /> 1-0,9936=0,0064<br /> \end{eqnarray*}$

Mehr ist das nicht? verwirrt

verwirrt

19.04.2015, 00:31

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

war das nicht genug ? Big Laugh

Big Laugh

Zusammenfassung:

2.) $\begin{eqnarray*} p(3F_2\leq 2250)= 0.65% \end{eqnarray*}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »