Integralrechnung, Differentialrechnung - Nur wie?

15.04.2015, 16:20

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Integralrechnung, Differentialrechnung - Nur wie?

Hallo,

Ich möchte mich an Differentialgleichungen rantrauen, nur weiß ich ehrlich gesagt nicht wie ich genau damit anfangen soll. Was muss man dann schon vorher können, um die Gleichungen zu lösen? Ich weiß zumindest dass es um Funktionen und Ableitungen geht. Ableiten habe ich mir etwas angeschaut und das kann ich jetzt größtenteils auch. Aber leider bringt das mich nicht so weit, weil ich auch ehrlich gesagt nicht weiß auf welche Funktion ich auflösen soll, ... ? Außerdem habe ich "e" in Verbindung mit Differentialgleichungen/Integralrechnungen öfters gesehen, was hat es sich damit auf sich?

Hoffe man kann mir hier etwas weiterhelfen!

PS: Bin in der 9. Klasse einer Realschule..deshalb bitte eine nicht zu schwer verständliche mathematische Antwort Hammer

Hammer

Danke schonmal!

MfG

16.04.2015, 17:53

moody_ds

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum möchtest du dich in der 9. Klasse mit DGLs beschäftigen?

Ich sag mal ganz grob sollte Wissen über Ableitungen, Integrale, e-Funktion, komplexe Zahlen haben um mit DGLs arbeiten zu können. Ich würde mal vorsichtig sagen, dass das aktuell deinen Horizont übersteigen wird, dennoch Freude

Freude

dass du motiviert bist das zu lernen.

Ich habe hier einen "Crash Kurs" gefunden: http://www.numerik.mathematik.uni-mainz..../Gruppe8/C1.htm Vielleicht gibt dir das einen kleinen Überblick.

Ansonsten kannst du ja mal eine Aufgabe posten mit der du dich gerade befasst.

Vielleicht hat hier jemand anderes noch sinnvollen Input?

17.04.2015, 14:37

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

danke für die Antwort! smile

smile

Warum ich mich damit beschäftigen möchte? Naja ich möchte später Physik studieren und mich schonmal mit Mathe "anfreunden", was zurzeit gut klappt denn finde Mathe jetzt auch viel interessanter. In der Schule behandelt man leider nur langweilige Themen und ich denke, dass ist auch der Grund weshalb es viele hassen Big Laugh

Big Laugh

Aber wenn man sich selber damit beschäftigt, macht es auch Spaß und es ist echt interessant. Und ja, auch wenn es noch ca 4 Jahre bis zum Studium sinds habe ich vor Mathe und Physik LK zu nehmen auf dem Gymnasium und bis dahin habe ich nur noch 2 Jahre. Dass ich motiviert bin, höre ich wirklich oft Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Ich bin einfach sehr interessiert daran, denke auch nicht dass das einen schadet oder? LOL Hammer

LOL Hammer

Beschäftige mich jetzt seit etwa 4 Tagen mit dem Thema Ableiten, ... Da ich nun die Stammfunktion auch berechnen kann, kann ich "sogar" schon einfache Integralrechnung berechnen *freu* smile

smile

smile

smile

Differentialrechnung habe ich noch nicht versucht, weil ich zuerst Integrale berechen wollte.
Aber auch dazu hätte ich eine Frage:
Wie leitet man eigentlich ab/Wie findet man die Stammfunktion, wenn man zwei Variablen hat? Also was wäre dann zum Beispiel die Ableitung von 4x^3y^2 ?

Ach und, ich bin hier eigentlich angemeldet, nur kann ich keine Beitrage verfassen etc.. weiß einer woran das liegt? unglücklich

unglücklich

Habe auch keine E-Mail oder sonst was bekommen..

Naja trotzdem nochmal DANKE! smile

smile

Grüße

Wink

17.04.2015, 19:14

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55

Beschäftige mich jetzt seit etwa 4 Tagen mit dem Thema Ableiten, ... Da ich nun die Stammfunktion auch berechnen kann, kann ich "sogar" schon einfache Integralrechnung berechnen *freu* smile

smile

smile

smile

Differentialrechnung habe ich noch nicht versucht, weil ich zuerst Integrale berechen wollte.

Differentialrechung hast du doch schon versucht, wenn du dich mit Ableitungen beschäftigt hast. verwirrt

verwirrt

Meinst du etwas anderes? Du kannst Integrale ohne Kenntnisse der Differentialrechnung/Ableitungsbildung ja auch nicht lösen!

18.04.2015, 10:07

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hippocampus

Differentialrechung hast du doch schon versucht, wenn du dich mit Ableitungen beschäftigt hast. verwirrt

verwirrt

Meinst du etwas anderes? Du kannst Integrale ohne Kenntnisse der Differentialrechnung/Ableitungsbildung ja auch nicht lösen!

Nein, weil ich einfach im Moment nicht verstehe was genau ich bei einer Differentialrechnung machen muss. Bei der Integralrechnung muss man ja auch Ableiten können bspw. wegen einer inneren Ableitung, aber man muss schlussendlich auf die Stammfunktion kommen ("Aufleiten"). Und dann halt die Fläche berechen F(b) - F(a)? Das verstehe ich alles und kann es lösen. Nur bei den Differentialrechnugnen weiß ich wie gesagt nicht wie ich da vorgehen soll und was ich überhaupt machen muss ^^

Grüße

18.04.2015, 10:21

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55

Nein, weil ich einfach im Moment nicht verstehe was genau ich bei einer Differentialrechnung machen muss.

Etwa Funktionen ableiten?! http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialrechnung

Sprichst du wieder von Differentialgleichungen?

Anzeige

18.04.2015, 10:26

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hippocampus

Sprichst du wieder von Differentialgleichungen?

Ohnein

Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Habs gerade gegooglt, ja ich spreche natürlich von Differentialgleichungen Hammer

Hammer

Hab gedacht dass ist dasselbe. Das tut mir jetzt leid Ups

Ups

Ups

18.04.2015, 10:45

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, kann passieren. smile

smile

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Ableitung einer Funktion enthält. Nach dem Aufstellen einer solchen Gleichung ist man bemüht, die Gleichung zu lösen, in dem man nach einem Term für die Funktion sucht.

Einfaches Beispiel:

Bei der Bewegung eines Körpers mit konstanter Geschwindigkeit gilt ganz nach Definition $\begin{align*} s'(t)=v \end{align*}$ .
Eine Lösung (erhaltbar etwa durch Integration oder Ansatz) dieser Gleichung ist $\begin{align*} s(t)=v \cdot t \end{align*}$ . Dieser Ausdruck sollte dir schon bekannt sein:
Bewegt sich ein Körper bspw. 3 Stunden lang mit einer konst. Geschw. von 200km/h, so hat er ja eine Strecke von $\begin{align*} s(t)=v \cdot t= 200 \frac{km}{h} \cdot 3h=600km \end{align*}$ zurückgelegt.

18.04.2015, 12:48

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hippocampus
Kein Problem, kann passieren. smile

smile

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, die eine Ableitung einer Funktion enthält. Nach dem Aufstellen einer solchen Gleichung ist man bemüht, die Gleichung zu lösen, in dem man nach einem Term für die Funktion sucht.

Einfaches Beispiel:

Bei der Bewegung eines Körpers mit konstanter Geschwindigkeit gilt ganz nach Definition $\begin{align*} s'(t)=v \end{align*}$ .
Eine Lösung (erhaltbar etwa durch Integration oder Ansatz) dieser Gleichung ist $\begin{align*} s(t)=v \cdot t \end{align*}$ . Dieser Ausdruck sollte dir schon bekannt sein:
Bewegt sich ein Körper bspw. 3 Stunden lang mit einer konst. Geschw. von 200km/h, so hat er ja eine Strecke von $\begin{align*} s(t)=v \cdot t= 200 \frac{km}{h} \cdot 3h=600km \end{align*}$ zurückgelegt.

Mir ist schon klar dass s(t) = v *t ist, doch nur durch logisches denken Big Laugh

Big Laugh

Sry schonmal für die dumme Frage aber kannst du mal angeben wie du das meinst, also durch integrieren?

18.04.2015, 14:37

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55
Mir ist schon klar dass s(t) = v *t ist

Das dacht' ich mir! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also:

$\begin{align*} s'(t)&=v \\ \int \! s'(t) \, \mathrm{d}t &= \int \! v \, \mathrm{d}t \\ &... \end{align*}$

Wie geht's weiter? smile

smile

18.04.2015, 14:48

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hippocampus

Wie geht's weiter? smile

smile

Die Frage stelle ich mir ja selber Big Laugh

Big Laugh

Muss ich davon die Stammfunktion ermitteln oder wie?
Das "dt" (Das wäre auch einer meiner Fragen..habe oft irgendwas mit dx, dt, dy, usw gelesen, nur was ist das bloss? verwirrt

verwirrt

) wird dann glaube ich zu einer Konstante c oder? Habe aber jetzt nicht eine Ahnung was ich mit " s' " bspw. anfangen soll Hammer

Hammer

*Bitte nicht hassen wegen den vielen Fragen, nur fällt das mir alles etwas schwer weil es einfach Neuland ist* Ups

Ups

18.04.2015, 14:54

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} s^2 = v^2 + c \end{eqnarray*}$

So vielleicht? Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

18.04.2015, 15:05

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Vergangenheit wurden Differentialrechung (Ableitungen etc.) und Integralrechung (In erster Linie Berechnung von Flächen unter Graphen von Funktionen) eine Zeit lang getrennt behandelt.
Dann wurde der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung entdeckt, der einen Zusammenhang zwischen Differentialrechnung und Integralrechung herstellt.
In einem anderen Thread schrieb ich zu den Integralen:

Zitat:

Wenn wir die Fläche unter einer Kurve in dem Intervall $\begin{eqnarray*} [a;b] \end{eqnarray*}$ mit Ober-/Untersumme beschreiben wollen, während die Rechtecke die gleiche Breite $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ und die Höhe $\begin{eqnarray*} f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ , kommen wir durch Aufsummieren der Rechtecke auf die Formel
$\begin{eqnarray*} \Delta x \cdot f(x_{1})+\Delta x \cdot f(x_{2})+...+\Delta x \cdot f(x_{n})=\Delta x \cdot (f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})) \end{eqnarray*}$ .
Ich habe dort $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.
Dabei ist außerdem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Rechtecke.

Wenn wir nicht eine konstante Funktion betrachten, werden wir bei einer begrenzten Anzahl an Rechtecken immer einen Fehler haben. Deshalb lassen wir die Anzahl der Rechtecke
gegen unendlich laufen. Somit wird die Breite der Rechtecke unendlich klein (->infinitesimal) und man schreibt $\begin{eqnarray*} d x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ .
Das war's schon:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}(f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n})) dx := \int\limits_a^b \! f(x) dx \end{eqnarray*}$

Schau mal bzgl. des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung dieses Video von Jörn Loviscach:
https://www.youtube.com/watch?v=izJMOpoYH0k

Zweiter Teil: https://www.youtube.com/watch?v=q0VmIBk9NdQ

Dein Ansatz ist leider falsch.

Wink

Wink

18.04.2015, 15:13

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre dann die Antwort + Lösungsweg? Ups

Ups

Lesen2

18.04.2015, 15:20

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das schaffst du bestimmt selbst, wenn du dich etwas mit dem Hauptsatz beschäftigt hast.

18.04.2015, 16:05

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe jetzt 4 Videos dazu angeschaut. Bei deinem Vorschlag habe ich wenig verstanden, aber keine Ahnung wie das mit weiter helfen soll. Bei einem anderen Video ging es um limes bzw Grenzwerte, da habe ich leider gleich 0 verstanden, weil ich das noch nicht kenne. Und im anderen Video wurde nur etwas zu der Fläche gesagt, wie man die berechnet. Das kann ich ja -> Integralrechnung.

Zumindest weiß ich jetzt dass das Differenzieren bzw. Ableiten die Umkehrung von der Integralrechnung ist. Also bei Differentialrechnungen leite ich ab, bei Integralen ermittele ich die Stammfunktion. Das heißt auch, wenn ich eine Funktion f(x) hab, diese ableite und dann integriere, bekomme ich wieder meine Funktion f(x). Logisch Respekt

Respekt

Big Laugh

Nur bin ich wirklich am verzweifeln wie ich bei Differentialgleichungen nun vorgehen soll. Ich werd echt verrückt, kannst nicht die Antwort und den Lösungsweg schreiben? unglücklich

unglücklich

18.04.2015, 16:31

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55
Also bei Differentialrechnungen leite ich ab, bei Integralen ermittele ich die Stammfunktion. Das heißt auch, wenn ich eine Funktion f(x) hab, diese ableite und dann integriere, bekomme ich wieder meine Funktion f(x). Logisch Respekt

Respekt

Big Laugh

Ja also, dann weißt du doch, was zu tun ist Freude

Freude

Zitat:

Nur bin ich wirklich am verzweifeln wie ich bei Differentialgleichungen nun vorgehen soll. Ich werd echt verrückt, kannst nicht die Antwort und den Lösungsweg schreiben?

Zu Differentialgleichungen gibt es keinen allgemeinen Lösungsweg. Man braucht "nur" Übung und Erfahrung.

18.04.2015, 17:47

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wärs, wenn du mir zumindest die vorgehensweise erklärst und eine mögliche Lösung gibst? Würde mir - wahrscheinlich - weiterhelfen und ich wäre dir dankbar! Freude

Freude

Grüße

Wink

18.04.2015, 18:28

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55
Wie wärs, wenn du mir zumindest die vorgehensweise erklärst [...]

Die kennst du doch: Stammfunktionen suchen! Wink

Wink

18.04.2015, 19:18

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich doch aber schon versucht mit $\begin{eqnarray*} s^2 = v^2 + c \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Meine Vorgehensweise: Gleichung -> s'(t) dt = v dt
Stammfunktion: Wenn ich $\begin{eqnarray*} s^1 \end{eqnarray*}$ erhöhe um 1 und dann durch das teile also: s^2/2
Das "dt" wird doch zu einer Konstante c?

Rechte Seite der Gleichung: s^2/2 + c1

Linke Seite mit der gleichen Vorgehensweise: v^2/2 + c2

Dann auf beiden Seiten / - c und c:= c2 - c1 ?

Nun: s^2/2 = v^2/2 + c

Auf beiden Seiten die 2 kürzen bleibt nur noch: s^2 = v^2 + c (in dem Fall wäre die Konstante doch t, die Zeit oder nicht?!)

Was mache ich falsch?? unglücklich

unglücklich

Lesen2

Erstaunt2

18.04.2015, 19:36

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} s'(t) \end{align*}$ ("s strich von t") ist die erste Ableitung von $\begin{align*} s(t) \end{align*}$ . Deshalb wollen wir ja integrieren! Um $\begin{align*} s(t) \end{align*}$ zu erhalten...
v ist wie gesagt konstant.
Um dir da auf die Sprünge zu helfen:
Was erhälst du, wenn du $\begin{align*} f(x)=a \cdot x \end{align*}$ ableitest?

Die Berücksichtigung und Zusammenfassung der Konstanten ist Freude

Freude

Die kommt aber nicht von "dt". Die Konstante verschiebt den Graphen nach oben bzw. unten und fällt beim Ableiten weg (durch die Verschiebung ändert sich die Steigung ja nicht!). Also erhälst du beim Integrieren, sofern keine spez. Bedingungen verlangt sind, immer eine ganze Schar an Stammfunktionen, die sich eben um diese Konstante unterscheiden:
$\begin{align*} \int \! f(x) \, dx= F(x) +c \end{align*}$

18.04.2015, 19:55

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hippocampus
$\begin{align*} s'(t) \end{align*}$ ("s strich von t") ist die erste Ableitung von $\begin{align*} s(t) \end{align*}$ . Deshalb wollen wir ja integrieren! Um $\begin{align*} s(t) \end{align*}$ zu erhalten...
v ist wie gesagt konstant.
Um dir da auf die Sprünge zu helfen:
Was erhälst du, wenn du $\begin{align*} f(x)=a \cdot x \end{align*}$ ableitest?

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 * 1 = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Heißt dass ich darf mit v nichts machen, da es konstant ist?
Und heißt dass ich muss dann zwei mal integrieren um überhaupt auf die Stammfunktion zu kommen oder wie? Erstaunt2

Erstaunt2

Und nochmal ein riesen Dankeschön für deine Hilfe!! Mit Zunge

Mit Zunge

Big Laugh

Freude

18.04.2015, 19:58

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Uppps, mir fällt auf da muss man ja die Produktregel beachten:

Also: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 * x + a * 1 \end{eqnarray*}$

18.04.2015, 20:13

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55
Und nochmal ein riesen Dankeschön für deine Hilfe!! Mit Zunge

Mit Zunge

Big Laugh

Freude

Gerne

smile

Die Produktregel kannst du anwenden, ja, hast du aber falsch angewendet.
a ist doch keine Variable, also die Ableitung von a gleich null.

Viel einfacher ist es mit Potenz- und Faktorregel:
$\begin{align*} g(x)=a \cdot x \Rightarrow g'(x)=a \cdot (x)'=a \cdot 1 =a \end{align*}$

18.04.2015, 20:29

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt! Aber woher weiss ich was eine Variable ist und was nicht? Sind nur x, y, z Variablen? In diesem Fall meinst du bestimmt die Beschleunigung oder? Das ist mir erst jetzt aufgefallen Forum Kloppe

Forum Kloppe

Aber egal man lernt von Fehlern! Hammer

Hammer

Prost

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0*1 + a*1 = a \end{eqnarray*}$

So oder?

18.04.2015, 20:34

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Nova55

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 0*1 + a*1 = a \end{eqnarray*}$

So oder?

Richtig. Ich meine aber nicht die Beschleunigung, sondern irgend eine Zahl.

Bei f(x) ist der zugeordnete Wert von x abhängig ("f von x"). Daher ist x die Variable. Bei f(t) ist es t usw...

18.04.2015, 20:36

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja okay. Kann ich nachvollziehen. Heisst das, es gibt immer nur eine Variable in der Gleichung oder?

18.04.2015, 20:39

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

In welcher Gleichung?
Du kannst dir auch Funktionen basteln, die von zwei Variablen abhängen...
Schreibweise dann z.B. $\begin{align*} f(x, y) \end{align*}$

18.04.2015, 20:45

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay geht klar! Freude

Freude

Ich meine eigentlich die Gleichung oben s'(t) = v
Was muss ich da jetzt machen? Und ausserdem was ist mit t dann ?! geschockt

geschockt

Noch eine Frage: Was passiert eigentlich mit Konstanten wie v hier beim "Aufleiten"? Werden die da auch 0 oder muss ich ganz normal die Potenz erhöhen und durch das teilen?

18.04.2015, 20:48

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll mit t sein?

Zitat:

Original von Hippocampus
Um dir da auf die Sprünge zu helfen:
Was erhälst du, wenn du $\begin{align*} f(x)=a \cdot x \end{align*}$ ableitest?

18.04.2015, 20:52

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Du meintest doch das eine Lösung die man durch die Integration bekommt ist s(t) = v * t
Wie komme ich jetzt da drauf? Hammer

Hammer

18.04.2015, 20:54

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir doch einfach das Ergebnis dieser Ableitung an:

Zitat:

Um dir da auf die Sprünge zu helfen:
Was erhälst du, wenn du f(x)=a⋅x ableitest?

18.04.2015, 21:04

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ja dann fällt mir auf, dass wenn ich s'(t) ableite, dass ich die rechte Seite mit der Variable von der die Ableitung abhängt multiplizieren muss?

18.04.2015, 21:07

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du integrieren und nicht ableiten meinst, ist das in diesem Fall richtig.

18.04.2015, 21:10

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man was ist nur los mit mir heute, kann mich heute ja garnicht ausdrücken Big Laugh

Big Laugh

Tut mir nochmals leid für die Missverständnisse Hammer

Hammer

Ist das immer direkt so, oder gibt es irgendwelche Umformungsschritte?

18.04.2015, 21:17

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{align*} f(x)= a \cdot x^n \end{align*}$
so ist $\begin{align*} f'(x)=a \cdot n \cdot x^{n-1} \end{align*}$

In unserem Fall ist $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ , sodass aus $\begin{align*} f'(x)=a \Rightarrow f(x)=a \cdot x \end{align*}$

18.04.2015, 21:30

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Verständlich! Danke! Freude

Freude

Freude

Kannst du mir noch die Frage von oben beantworten? Was passiert mit Konstanten beim "Aufleiten" ? Werden die da auch null oder werden die auch normal "Aufgeleitet"? Oder werden die einfach zu c? &' ausserdem: Wie läuft das Ableiten aber auch Aufleiten mit zwei Variablen ab? Also wenn jch z.B 4xy hab?

18.04.2015, 21:34

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Was mit Konstanten passiert haben wir doch gerade geklärt.
Außerdem heißt es integrieren, nicht aufleiten (ugs.).

18.04.2015, 21:39

Nova55

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja meine integrieren, deswegen auch "Aufleiten" in Anführungszeichen Big Laugh

Big Laugh

Also beim Ableiten werden die Komstanten zu 0 und beim integrieren bleiben die einfach?

18.04.2015, 21:55

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das so meinst, wie ich oben geschrieben habe, ja.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »