Lineare Abbildung?

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winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung?
Hallo, folgendes Bsp, weiß ich nicht wie man beweist...

Definition zur Linearen Abbildung aus wikipedia besagt:

Seien und Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper . Eine Abbildung heißt lineare Abbildung, wenn für alle unddie folgenden Bedingungen gelten:

f ist homogen:

f ist additiv:

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:



zu a)

wenn ich das graphisch in eine x,y Koordinatensystem zeichne, und dies als kodierte Projektion mir vorstelle, sehe ich eine Ebene die in x,y Richtung steigt, eine weitere die in x,-y steigt.

Jetzt könnte man doch sagen, Ebenen sind Lineare Abbildungen ohne groß herum zu rechnen?

Matrix:



Ist es dann linear, sobald ich es als Matrix anschreiben kann?

Oder könnt ihr mir kurz zeigen wie ihr das ganz allgemein beweist?

[attach]37746[/attach]
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende doch die Definition die du hingeschreiben hast:



Versuche ob das bei deinen Funktionen hinkommt. Und nicht jede lineare Abbildung lässt sich als Matrix schreiben. Deshalb soll man das auch nur für a)-d) machen.

Mal ein Beispiel aus deinen Aufgaben:

(b)




Ich denke man sieht schon direkt, dass die beiden Terme nicht gleich sind, und deshalb kann f nicht linear sein.

Für jede deiner Aufgaben rechnest du
und aus und schaust ob die gleich sind. Wenn ja, dann ist die Funktion linear, sonst nicht.

EDIT:

mit gleich meinte ich, dass die Terme für jede Eingabe von den gleichen Wert ergeben
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke...

Bei Bsp. b ist es auch logisch, weil es ja einen Parabel beschreibt...

c) kann man so auffassen:



graphisch beschreibt, das irgendwie einen kompletten 3 dimensional Raum...das Gleichungssystem ist auch mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten nicht wirklich lösbar

ich hab leider die Notation mit höher Dimensionalen Funktionen nicht so drauf...wie schreibt man das am besten auf?

d Halbkugel---> keine Lineare Abbildung

Beweis:



sei



e) Beschreibt die Spiegelung um die reelle Achse-->lineare Abbildung

Könnte man eig. auch als Matrix anschreiben:

Konjugiert Komplexe Zahl

f) Satz besagt: Jede auf einem Intervall stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion

sagen wir

so muss:







Ist ein Widerspruch oder?-->keine Lineare Abbildung

Ist das Verwertbar?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

c)
Was beschreibt da einen kompletten 3-dimensionalen Raum?!

Das ist eine Abbildung von nach . Und was für ein Gleichungssystem willst du lösen? Du hast doch gar keine rechte Seite gegeben. Ein Gleichungssytem wäre Beispielsweise wobei A eine gegebene Matrix und b ein gegebener Vektor ist.

Deine Matrix stimmt jedenfalls und auch die Abbildung ist linear. Nur die Interpretation verstehe ich nicht.

d)
Du hast Funktionen gegeben, wo siehts du eine Halbkugel ?! Tatsächlich beschreibt die Menge



eine Kugel.

Sonst stimmt aber deine Argumentation, dass die Abbildung nicht linear ist. Würde aber schreiben, man nehme an, dass x=y=z=1 und a=-1 und dann rechne nach.

e)

Man kann es nicht als Matrix schreiben. Aus welcher Menge kommt denn der Vektor ?

Eine Lineare Abbildung ist nur zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper sinnvoll. Sonst kann die Bedingung i.A. nicht erfüllt werden.

Inbesondere ist eine Abbildung von nach gesucht, d.h. du müsstest eine komplexe Zahl finden, welche deine Zahl konjugiert.

f)

Du bildest Funktionen auf ihre Stammfunktion ab. D.h. deine Argumente sind Funktionen.

du musst also schauen ob


gleich ist.

Es geht nicht darum ob die Funktion linear ist, weil dass das ist das was du gemacht hast.
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, nochmals, dass du mir hilfst...

zu c) ich habe das wieder in ein x,y,z-Koordinatensystem eingezeichnet und bekomme als Abbildung unendlich viele Ebenen die aufeinander gestapelt sind.

Beweis weiß ich nicht genau wie man den ansetzen soll...sehr aussagekräftig ist dieser ja nicht, ja er stimmt schon...?




für alle erfüllt

erfüllt

e)

du hast geschrieben:

Zitat:
Inbesondere ist eine Abbildung von nach gesucht, d.h. du müsstest eine komplexe Zahl finden, welche deine Zahl konjugiert.


Hab ich das richtig verstanden?

Sei :

Dann gilt für

dann stimmt, dass



aber nur in diesem Fall

Wenn dann wird meine komplexe Zahl nicht konjugiert...

Also keine Lineare Abbildung?

f)

Zitat:


diese Rechenregel ist mir natürlich bekannt, warum die Linearität hier gilt weiß ich aber nicht...den Beweis haben wir glaub ich nicht gelernt

g) das bestimmte Integral ist aufgrund f) dann auch eine Lineare Abbildungen oder?

Danke
winki2008 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist bei g) noch etwas aufgefallen...

Da steht:





Doch die Fläche unter der Kurve kann ja nur einen eindeutigen Wert besitzen:

entweder


z.b:

Monotonie: Ist für alle , so ist
.

Kann man dann sagen, es herrscht keine Linearität, da der Wertebereich nicht sinnvoll definiert ist?

DANKE für das Kommentieren...
 
 
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

c)

Ich weiß nicht genau was du da stapelst. Aber du musst hier auch nur zeigen, dass die Funktion linear ist. Über schreiben ist es natürlich auch schwerer auszudrücken was man meint.

Für deine Funktion musst du zeigen, dass gilt:



dann ist die Funktion linear.

e)

Um zu zeigen, dass eine Funktion linear ist, kannst du immer nach schema F vorgehen! Zeige doch einfach ob die Gleichung gilt:



Ich wollte dir nur damit sagen, dass du bspw. für eine Abbildung wenn dann nur eine m x n Matrix suchen brauchst.

Und die Abbildung ist linear, beachte .

g)

Glaub du hast hier ein generelles Problem, dass du dir immer etwas vorstellen möchtest anstatt bei den Eigenschaften zu bleiben. Rechne nach ob folgende Gleichung gilt:



Dabei nutzt du eben die Eigenschaften der Funktion aus. In diesem fall hast du wieder zwei Funktionen, also musst du schauen ob gilt:



Dabei ist das aus der ersten Gleichung nicht identisch mit dem aus der zweiten.

Versuche dir nicht irgendeine Funktion raus zu picken die dir gerade passt, sondern Rechne die Eigenschaft für eine beliebige Funktion nach.
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