Grenzwert von Ausdruck mit Binomialkoeffizient

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AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert von Ausdruck mit Binomialkoeffizient
Hi Leute,

im Rahmen einer Stochastik-I-Aufgabe muss ich zeigen, dass

[latex]\lim_{n \to \infty } \binom{2n}{n}(pq)^{n}=0[/latex], wobei [latex]0<p<1[/latex] und [latex]q=1-p[/latex].

Ich weiß, dass [latex]\lim_{n \to \infty } (pq)^{n}=0[/latex], weil [latex](pq)<0[/latex]. Da aber der Binomialkoeffizient explodiert, reicht das ja noch nicht.

Wer kann mir weiterhelfen?

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Lieben Gruß Albert
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Na, was wird wohl das erste sein was man hier tut...
 
 
AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich das wüsste, hätte ich kaum gefragt, oder?

EDIT: Ich habe gerade einen Fehler in meinem 1. Post entdeckt. Es muss natürlich heißen:

"... weil [latex](pq)<1[/latex]." und nicht kleiner 0.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du es nicht weißt hast du über die Aufgabe noch nicht nachgedacht.
Es drängt sich doch auf.
AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst dir deine Arroganz sparen. Bitte gib mir entweder konkrete Antworten oder lass es einfach bleiben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne eigene Ansätze kann ich dir schlecht helfen und was man zu erst tuen sollte, ist irgendwie nahe liegend.

Im Grunde das erste wenn man anfängt zu rechnen. Von daher spare ich es mir dir diesen Tipp zu geben.
rg Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert von Ausdruck mit Binomialkoeffizient
Das Ding heisst mittlerer Binomialkoeffizient. Wenn man das weiss, kann man eine Abschaetzung dafuer finden, z.B. bei Wikipedia. Zusammen mit einer Abschaetzung fuer pq laesst sich die Aufgabe damit loesen. Keine Ahnung, ob das der einfachste Weg ist, aber da Du scheinbar ueberhaupt keine Idee hast, biete ich diesen Loesungsweg an.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

darf man fragen, was du schon so zur Verfügung hast?

Für [l]p\neq q[/l] kann man leicht mit Konvergenzkriterien für Reihen zeigen, dass sogar die Reihe über diese Folge konvergiert.

Knifflig ist halt der Fall [l]p=q[/l] und da kommt man glaube ich um härtere Geschütze wie die Stirlingformel nicht herum. (Bin mir da nicht sicher, aber man schießt halt bei gröberen Abschätzungen hier leicht übers Ziel hinaus).
AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für eure Antworten!

Zitat:
Knifflig ist halt der Fall [l]p=q[/l] und da kommt man glaube ich um härtere Geschütze wie die Stirlingformel nicht herum.

es gilt [latex]p\neq q[/latex].

Zitat:
darf man fragen, was du schon so zur Verfügung hast?

falls du damit meinst, welches Vorwissen ich habe: Ich bin eigentlich Geisteswissenschaftler und Stochastik I ist mein erster echter Mathekurs - ein Sprung ins kalte Wasser also.

Zitat:
Das Ding heisst mittlerer Binomialkoeffizient. Wenn man das weiss, kann man eine Abschaetzung dafuer finden, z.B. bei Wikipedia.

Mein Problem mit dem Wikipedia-Artikel (http://de.wikipedia.org/wiki/Mittlerer_Binomialkoeffizient) ist, dass ich mit den Landau-Symbolen bzw. der Thematik dahinter nicht vertraut bin. Deswegen verstehe ich auch nicht, wie man auf den Ausdruck
[latex]\lim_{n\rightarrow\infty} \left({2n \choose n} \left(\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\right)^{-1} \right) = 1[/latex] kommt und inwiefern mir das nützt.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
es gilt [latex]p\neq q[/latex].



Es ist sehr schade, dass das erst jetzt ans Licht kommt. Warum steht das nicht im Eröffnungsbeitrag? Ich habe mir nun ganz umsonst Gedanken gemacht, ob man den Fall [l]p=q[/l] auch einfacher abhandeln kann.

Wenn [l]p\neq q[/l] vorausgesetzt ist, dann versuche es wie gesagt mit Konvergenzkriterien für Reihen. Hinter der Abschätzung, die du zitiert hast, stecken wie gesagt viel zu schwere Geschütze, die man für [l]p\neq q[/l] nicht braucht.
AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum steht das nicht im Eröffnungsbeitrag?

weil ich nicht wusste, dass das relevant ist.


Zitat:
dann versuche es wie gesagt mit Konvergenzkriterien für Reihen.

das sagt mir leider gar nichts.


Zitat:
Für [l]p\neq q[/l] kann man leicht mit Konvergenzkriterien für Reihen zeigen, dass sogar die Reihe über diese Folge konvergiert.

von welcher Folge sprichst du hier?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich wird hier erwartet, dass man immer die vollständige Aufgabenstellung angibt, gerade weil man oft selbst nicht einschätzen kann, was relevant ist und was nicht. (Es ist aber fast immer alles relevant, was vorausgesetzt wird, sonst würde es nicht vorausgesetzt werden). Fürs nächste mal, ok?

Zitat:
das sagt mir leider gar nichts.


Ok, dann anders. Kennst du das Sandwhichlemma oder einen Satz, der etwas in der Art besagt:

Gilt [l]a_n\neq 0[/l] und [l] \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q[/l] für ein festes [l]q<1[/l] und alle [l]n\in\mathbb N[/l], so folgt [l]a_n\to 0[/l]

?

Falls nicht, müsstest du mal angeben, was ihr so zu Folgen schon gemacht habt, irgendwas muss ja schon dran gewesen sein.

Ich gehe nun erstmal schlafen. Morgen gerne weiter, aber vielleicht kann dir ja heute Abend noch jemand anderes weiterhelfen.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Noch'n Tipp. Wenn Du noch keine Reihen kennst, dann kannst Du einfach [latex]4^n=(1+1)^{2n}[/latex] mit der Binomialformel entwickeln und daraus [latex]{2n\choose n}<4^n[/latex] schliessen. Fuer den Fall [latex]p=q=1/2[/latex] ist diese Abschaetzung nicht mehr gut genug, aber fuer den Rest reicht sie. (Begruendung?)
AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Fürs nächste mal, ok?

ja.


Zitat:
Falls nicht, müsstest du mal angeben, was ihr so zu Folgen schon gemacht habt, irgendwas muss ja schon dran gewesen sein.

von Folgen habe ich das letzte Mal im Abitur gehört und das ist einige Jahre her. In Stochastik I wurden Folgen bisher nicht thematisiert, das Wissen wird offenbar vorausgesetzt.

Zitat:
Wenn Du noch keine Reihen kennst, dann kannst Du einfach [latex]4^n=(1+1)^{2n}[/latex] mit der Binomialformel entwickeln und daraus [latex]{2n\choose n}<4^n[/latex] schliessen.

nehmen wir mal an, mir gelingt es, die Abschätzung zu zeigen - inwiefern hilft mir das weiter, wenn [latex]{n \to \infty }[/latex]?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
nehmen wir mal an, mir gelingt es, die Abschätzung zu zeigen - inwiefern hilft mir das weiter, wenn [latex]{n \to \infty }[/latex]?


Etwas Eigenarbeit musst du schon leisten. Nur noch soviel: Wenn du deine Folge nach oben gegen ein Folge abschätzen kannst, von der bekannt ist, dass sie gegen 0 konvergiert, genügt das. Das ist mit dem Tipp von rg nun wirklich nicht mehr weit und sollte von dir selbst geschafft werden.
AlbertH Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn du deine Folge nach oben gegen ein Folge abschätzen kannst, von der bekannt ist, dass sie gegen 0 konvergiert, genügt das.


aber [latex]4^{n} [/latex] konvergiert doch nicht gegen 0, sondern gegen unendlich. Also bekomme ich zwei Faktoren, wobei der eine gegen unendlich und der andere gegen 0 läuft, womit ich nichts anfangen kann.


Zitat:
Etwas Eigenarbeit musst du schon leisten.

mich nervt, dass mir jetzt schon zum 2. Mal unterstellt wird, ich sei zu faul zum Lösen der Aufgabe. Leute, ich kann es nicht und da hilft es mir 0, gar nix, wenn man mir sagt, wie einfach es eigentlich ist.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm mal folgendes an:

Du willst zeigen, dass eine Folge [l]\frac{a_n}{n^2}[/l] gegen [l]0[/l] konvergiert und du weißt durch eine Abschätzung, dass [l]0 \leq a_n \leq n[/l]. Sagst du dann auch: Das bringt mir nichts, [l]n[/l] konvergiert immernoch gegen unendlich. Jetzt habe ich ein Produkt aus [l]n[/l] und [l]\frac{1}{n^2}[/l], wobei einer der Faktoren gegen unendlich divergiert und der andere gegen 0 läuft. Damit kann man nichts anfangen.

Ich hoffe, du kannst die Analogie sehen.

Niemand unterstellt dir, dass du zu faul bist, die Aufgabe zu lösen.
Man kann allerdings keinen Tipp mehr geben, ohne die Lösung zu veraten. Deswegen möchte ich hier nicht viel mehr an Tipps geben. Das hat auch den Grund, dass ich dir nicht wegnehmen will, die Aufgabe schlussendlich selbst gelöst zu haben.
rg Auf diesen Beitrag antworten »

Fuer welche [latex]r>0[/latex] gilt [latex]\lim_{n\to\infty}(4r)^n=0[/latex]? Wenn Du das nicht loesen kannst, dann hat Dein Sprung in's kalte Wasser so nicht funktioniert und Du wirst ertrinken.
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