Eigenschaften von Äquivalenzrelation

17.04.2015, 10:59	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften von Äquivalenzrelation Servus zusammen, ich hänge hier an einer Aufgabe fest und würde mich über jegliche Hilfe freuen! Es ist gefragt, ob dies eine Äquivalenzrelation ist: $\begin{eqnarray} \left(u,v\right) \in R \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} \|u\| + \|v\| \end{eqnarray}$ ungerade ist Ich habe mich bereits mit den Eigenschaften auseinandergesetzt und muss ja beweisen, dass es - reflexiv - symmetrisch - transitiv ist Bei der Reflexivität müsste ich doch jetzt beweisen, dass \|u\| in Relation mit sich selbst steht, also \|u\| ~ \|u\|, oder? Dies würde aber doch nicht der Eigenschaft der Relation entsprechen, uRu gerade wäre. Also wäre dies keine Äquivalenzrelation. Sehe ich das richtig oder ist das vollkommen falsch? Danke euch vielmals!
17.04.2015, 11:06	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal solltest du hier unbedingt die Grundmenge angeben, ohne die ist nämlich nicht klar, was deine Zahlen $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ sein sollen. Ansonsten: warum steht denn $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ nicht in Relation zu sich selbst? Du hast es umschrieben, kannst du das auch kurz und knapp belegen?
17.04.2015, 11:34	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh sorry, das hab ich vergessen: Die Menge ist: $\begin{eqnarray} \sum = \left\{ a, b, c\right\} \end{eqnarray}$ Es handelt sich hierbei um Sigma über das Alphabet und der Länge der Wörter. Theoretische Informatik... Zu meiner Annahme, dass u nicht in Relation zu sich selbst steht: Könnte ich das mittels \|u\| = 2 * m falls es gerade ist und \|u\| = 2 * n + 1 falls es ungerade ist zeigen? Ich hab das Gefühl ich stehe irgendwie aufm Schlauch
17.04.2015, 11:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Annahme musst du gar nicht treffen. Was ist denn $\begin{eqnarray} \|u\|+\|u\|=\dots \end{eqnarray}$ wenn man es mal zusammenfasst? Ist das ungerade?
17.04.2015, 11:54	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} = 2 \|u\| \end{eqnarray*}$ . Ne, ist natürlich nicht ungerade. Also lag ich mit meiner Vermutung richtig?
17.04.2015, 17:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt.
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19.04.2015, 09:05	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank!
19.04.2015, 19:23	credibil	Auf diesen Beitrag antworten »
Servus, ich hänge erneut an der nächsten Aufgabe fest: Diesmal lautet die Relation: $\begin{eqnarray} \left(u,v\right) \in R \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} \|u\|_{a}+ \|v\|_{b} = \|v\|_{a}+ \|v\|_{b} \end{eqnarray}$ ist ( $\begin{eqnarray} \|u\|_{a} \end{eqnarray}$ bezeichnet die Anzahl der a in u.) Meines Erachtens nach ist dies eine Äquivalenzrelation, da alle drei Eigenschaften vorhanden sind. reflexiv: Wenn $\begin{eqnarray} \|u\|_{a} + \|u\|_{b} = \|v\|_{a} + \|v\|_{b} \end{eqnarray}$ Das gleiche gilt für \|v\| symmetrisch: Wenn $\begin{eqnarray} \|u\|_{a} + \|u\|_{b} = \|v\|_{a} + \|v\|_{b} \end{eqnarray}$ dann gilt auch: $\begin{eqnarray} \|v\|_{a} + \|v\|_{b} = \|u\|_{a} + \|u\|_{b} \end{eqnarray}$ transitiv: Wenn $\begin{eqnarray} \|u\|_{a} + \|u\|_{b} = \|c\|_{a} + \|c\|_{b} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|c\|_{a} + \|c\|_{b} = \|v\|_{a} + \|v\|_{b} \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \|u\|_{a}+ \|v\|_{b} = \|v\|_{a}+ \|v\|_{b} \end{eqnarray}$ 1. Frage: Liege ich mit meiner Annahme richtig, dass dies eine Äquivalenz-Relation ist? 2. Frage: Würde das, was ich da aufgeschrieben habe als Beweis reichen? Bzw. ist das überhaupt ein Beweis? Vielen Dank schon mal!

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