Dimension vom Durchschnitt zweier Vektorräume

17.04.2015, 13:45

Helios7

Dimension vom Durchschnitt zweier Vektorräume

Meine Frage:
Hallo Freunde der Mathematik
Seit Stunden beschäftige ich mich mit der folgenden Aufgabe.
Unglücklicherweise komme ich auf ein anderes Ergebnis als das vom Lösungsvorschlag.
Laut Lösung gilt: $\begin{eqnarray*} dim(W_1\cap W_2)= 2 \end{eqnarray*}$
[attach]37753[/attach]
Danke im Voraus für die Unterstützung!!!

Meine Ideen:
- 4 Gleichungen aufstellen und mit Gaus mögliche Terme eliminieren => Einheitsmatrix => lin.Unabhängig.
- dim(W2) = dim(span(v1,v2,v3)) = 3
- dim(W1) = ??? (Auf Anhieb würde ich Behauptung das die Lösung eine Gerade in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ ist.Durch ausprobieren habe ich zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} z_1=(4,0,0,1), z_2=(0,3,2,0) | z_1,z_2 \in W_1 \end{eqnarray*}$ gefunden die die Gleichung zwar lösen aber Linear Abhängig sind! Demnach gilt dim(W1)=2. Das führt leider zu mehr Verwirrung...)

17.04.2015, 13:51

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Demnach gilt dim(W1)=2.

Nein, du hast damit nur $\begin{eqnarray*} dim(W_1) \geq 2 \end{eqnarray*}$ . In der Tat ist die Dimension 3, denn $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ ist der Kern einer Matrix vom Rang 1.

17.04.2015, 14:04

Helios7

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Hallo Captain Kirk,
Danke für die schnelle Antwort.

Wenn dim(W1) = 3 und dim(W2) =3, dann gilt $\begin{eqnarray*} dim(W_1 \cap W_2) =3 \end{eqnarray*}$ . Laut Lösungsvorschlag gilt jedoch $\begin{eqnarray*} dim(W_1 \cap W_2) = 2 \end{eqnarray*}$

Muss man da nicht die Schnittmenge bestimmen??? verwirrt

17.04.2015, 14:06

Captain Kirk

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Zitat:

dann gilt $\begin{eqnarray*} dim(W_1 \cap W_2) =3 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du zum Schluß?

17.04.2015, 14:31

Helios7

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Ich verstehe... wenn span(W1) einen 3Dimenionalen Raum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ aufspannt heißt es nicht unbedingt, dass das der gleiche Raum von span(W2) ist. Richtig?

17.04.2015, 14:42

Captain Kirk

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Zitat:

Ich verstehe... wenn span(W1) einen 3Dimenionalen Raum in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ aufspannt heißt es nicht unbedingt, dass das der gleiche Raum von span(W2) ist

Das ist sogar fast nie der Fall.

Wie man jetzt konkret $\begin{eqnarray*} dim (W_1 \cap W_2) \end{eqnarray*}$ hängt davon ab was ihr an Mitteln zur Verfügung habt, Dimensfomel z.B. Oder den Schnitt halt direkt bestimmen.

17.04.2015, 14:58

Helios7

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Wie man jetzt konkret $\begin{eqnarray*} dim (W_1 \cap W_2) \end{eqnarray*}$ hängt davon ab was ihr an Mitteln zur Verfügung habt, Dimensfomel z.B. Oder den Schnitt halt direkt bestimmen.

Wir dürfen beides benutzen. Habe noch zwei fragen an dich: Freude

1. Wie kommst du darauf, das W1 der Kern einer Matrix ist?
Warum genau hat W1 die Dimension 3?

2. Wenn ich die Dimensionsformel umforme, erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \dim\left(W_1+W_2\right)=\dim W_1 + \dim W_2 - \dim\left(W_1\cap W_2\right) \Leftrightarrow - \dim\left(W_1\cap W_2\right) = \dim\left(W_1+W_2\right) - \dim W_1 - \dim W_2 \Leftrightarrow \dim\left(W_1\cap W_2\right) = - \dim\left(W_1+W_2\right) + \dim V_1 + \dim W_2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Und wie komme ich jetzt weiter?

17.04.2015, 15:03

Captain Kirk

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1. Schau mal deine Definition von $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ an.
Und vergleich sie mit der Definition eines Kerns.
Also wie komm ich drauf: Wils es bereits so dasteht.

2. $\begin{eqnarray*} dim(W_1+W_2) \end{eqnarray*}$ ist leicht zu bestimmen und damit steht die gesuchte Dimension bereits da.

17.04.2015, 15:34

Helios7

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Zitat:

Original von Captain Kirk
1. Schau mal deine Definition von $\begin{eqnarray*} W_1 \end{eqnarray*}$ an.
Und vergleich sie mit der Definition eines Kerns.
Also wie komm ich drauf: Wils es bereits so dasteht.

Ohje.. jetzt seh ich es auch... war ne doofe Frage von mir Hammer

Und die Dimension 3 erhält man, indem $\begin{eqnarray*} x_2,x_3,x_4 \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$
als beliebige variablen bzw. Parameter betrachtet werden z.B. $\begin{eqnarray*} x_2=s , x_3=t, x_4=r \end{eqnarray*}$ .Danke dir!!!

Zitat:

Original von Captain Kirk
2. $\begin{eqnarray*} dim(W_1+W_2) \end{eqnarray*}$ ist leicht zu bestimmen und damit steht die gesuchte Dimension bereits da.

Wie genau geht man bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} (W_1+W_2) \end{eqnarray*}$ vor?

Kann man einfach sagen:
Da man 4 Vektoren $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ habe die linear Unabhängig sind, erzeugen diese den Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ . Demnach sind diese eine Basis und es gilt: $\begin{eqnarray*} dim(W_1+W_2)=4 \end{eqnarray*}$
mit der Dimenstionformel erhalte man:

$\begin{eqnarray*} \dim\left(W_1\cap W_2\right) = - \dim\left(W_1+W_2\right) + \dim V_1 + \dim W_2 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} dim(W_1 \cap W_2) = -4 + 3 + 3 = 2 \end{eqnarray*}$

17.04.2015, 16:24

Captain Kirk

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Zitat:

Ich verstehe nicht was du damit meinst und wahrscheinlich ist es auch falsch.
Ich sprach nur von der Dimension, dafür ist es nicht nötig eine Basis zu bestimmen und das ist hier schlicht der Rangssatz.

Zitat:

Da man 4 Vektoren $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ habe die linear Unabhängig sind

Dazu muss man aber auch vier lin. unabh. Vektoren in der Summe angegeben.

20.04.2015, 22:17

Helios7

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Zitat:

Ich sprach nur von der Dimension, dafür ist es nicht nötig eine Basis zu bestimmen und das ist hier schlicht der Rangssatz.

Da habe ich mich sehr unklar ausgedrückt... Habe jedoch das gleiche gemeint... smile

Zitat:

Dazu muss man aber auch vier lin. unabh. Vektoren in der Summe angegeben.

Da dim(W1)=3, brauchen wir 3 lin.unabhängige Vektoren die die Eigenschaft von W1 erfüllen. Dies wären z.B. w1=(4,0,0,1) , w2=(0,3,2,0) und w3=(0,-2,0,1).

Jetzt können wir dim(W1+W2) bestimmen,
indem man w1,w2,w,3,v1,v2,v3 in einer Matrix schreibt und das Gauß'sche Eliminationsverfahren anwendet.
Man erhählt rank(W1+W2)=4 => dim(W1+W2)=4.
Mit der Dimensionsformel folgt:

[attach]37785[/attach] => [attach]37786[/attach]

Danke für die Unterstützung Captain Kirk!

20.04.2015, 22:27

Captain Kirk

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Zitat:

Jetzt können wir dim(W1+W2) bestimmen,
indem man w1,w2,w,3,v1,v2,v3 in einer Matrix schreibt und das Gauß'sche Eliminationsverfahren anwendet.

Das geht deutlich einfacher, insbesondere ohne Gerechne:

Es ist $\begin{eqnarray*} W_1 \subseteq W_1+W_2 \subseteq \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , d.h. hier haben wir nur zwei Möglichkeiten für die Dimension: 3 bzw. 4.
Wäre die Dimension 3, so wäre $\begin{eqnarray*} W_1=W_2 \end{eqnarray*}$ was offensichtlich nicht der Fall ist.

20.04.2015, 22:35

Helios7

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Danke Captain! Prost

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