Integration

17.04.2015, 16:35

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

Integration

(a) expliziet lösen

Meine Idee :

u =2x

dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} 1/2\int_{a}^{b} \! \frac{arcsin(u)}{\sqrt{1-u^{2} } } \, du \end{eqnarray*}$

also ich würde jetzt einfach die Wurzel als Produkt aufschreiben also * "-1/2" und es dann mit der partiellen Integration probieren, aber in der Aufgabe steht "mit einer geeigneten Subtitution lösen ?

Habe ich vllt unpassend Subti. oder muss ich noch mal Subti. oder kann ich das mit der partiellen Integ. machen ?

Danke smile

smile

17.04.2015, 16:41

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integration
Wink

Wink

a) Du brauchst keine part. Integration.

Substituiere

z= arc sin(2x)

b)Substituiere

x= 4/ cos(t)

17.04.2015, 17:08

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde niemals auf diese Idee kommen smile

smile

aber ok

u= arc sin(2x)

dann erhalten wir

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \!\frac{u}{\sqrt{1-4x^2} } ) \, dx \end{eqnarray*}$

und nun verwirrt

verwirrt

naja ich könnte dann

du/dx berechnen .. nach dx umformen und einsetzen dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{u}{\sqrt{1-4x^2} \ }\sqrt{1-4x^2} \, dx \end{eqnarray*}$

die brüche kürzen sich weg und ich erhalte das integral von u

und das wäre dann als Endergebnis

1/2 * u ^2

Rücksub

1/2 * arcsin^2 (2x)^2 + C

Big Laugh

Big Laugh

?

17.04.2015, 17:14

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Jetzt bildest Du du/dx ganz normal , wie Integrale durch Substiitution gelöst werden,
stellt das nach dx um und setzt das in den Integranden ein.

17.04.2015, 17:15

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

ja habe editiert schau es dir mal an smile

smile

kam auch noch paar sekuden später auf die Idee Freude

Freude

17.04.2015, 17:26

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

nicht ganz, prüfe nochmal Deine Ableitung, ich komme auf

u^2/4 +C

Anzeige

17.04.2015, 17:36

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

also arcsin wäre abgeleitet

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } \end{eqnarray*}$

die Ableitung von arcsin(2x) wäre dann

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{1-x^2} } * 2 \end{eqnarray*}$

dann wäre dx = $\begin{eqnarray*} dx = \sqrt{1-x^2} / 2 \end{eqnarray*}$

soooo...

17.04.2015, 17:41

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

leider nein.

mach nochmal in Ruhe , Du hast hier eine innere und außere Funktion.

17.04.2015, 17:47

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

ok habs glaub ich

1/4 * arcsin ^2 (2x) ^2

smile

smile

?

muss man das so aufschreiben oder kann ich einfach sagen

bzw 1/4 (arcsin (2x) ) ^2

Big Laugh

Big Laugh

?

17.04.2015, 18:05

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

z= arc sin(2x) ; v=2x

----->z= arc sin(v)

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dv} = \frac{1}{\sqrt{1 -v^2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dx} =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dv} *\frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$

--->also smile

smile

17.04.2015, 18:17

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

1/4 * arcsin ^2 (2x) ^2

? smile

smile

stimmt das ?

17.04.2015, 18:32

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

also ich habe erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{ arc sin ^2(2x)}{4} +C \end{eqnarray*}$

17.04.2015, 18:38

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

ist es ein unterschied ob man 1//4 * arcsin ^2 (2x) ^2

schreibt oder

1/4 * arcsin ^2 (2x)

ich würde genau so wie du schreiben "grosserlöwe", aber bei Wolfram alpha stand das quadrat bei beiden ausdrücken, deswegen habe ich das einfach übernohmen

& zur Aufgabe (b)

ich muss eine 3fach substitution durchführen, hast du das beachtet ?

was meinen die damit ?

meinen die einmal Term substituieren und dann beide Grenzen ?

dann habe ich ja theoretisch 3 mal Substituiert ? Big Laugh

Big Laugh

17.04.2015, 19:03

Hippocampus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von 96MichelleMichi96
ist es ein unterschied ob man 1//4 * arcsin ^2 (2x) ^2

schreibt oder

1/4 * arcsin ^2 (2x)

Da man beide Ausdrücke auf unterschiedlichster Weise deuten kann, ja:

An alle LaTeX-Verweigerer: Bitte wenigstens Klammern setzen!

17.04.2015, 19:10

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

also mein Ergebnis stimmt , ich orientiere aber mich nicht an Wolfram.
Es gibt Leute , die siind mehr mit der Überprüfung des Ergebnisses von Wolfram
beschäftigt, als alles andere.Meihr Mut in die eigene Lestung.

smile

smile

Zur Überprüfung kannst Du ja, wenn Du willst, die Probe machen (1 Mal ableiten),
dann siehst du ja was stimmt.

zur Aufgabe (b)

ich muss eine 3fach substitution durchführen, hast du das beachtet ?

ja

meinen die einmal Term substituieren und dann beide Grenzen ?

Auch ohne die Grenzen habe ich 3 Mal substituiert

Big Laugh

Big Laugh

PS: Ich denke, das das mit den Grenzen nicht zur Substitution gehört.

18.04.2015, 11:27

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

danke schonmal für a) smile

smile

wie kamst du eig. auf x = 4/cos(t)

allein wäre ich nie drauf gekommen 9o

edit :

schon ok ich weiß warum, ich probiers jetzt mal aus ... Big Laugh

Big Laugh

kann die wurzel als 4x^2 - 8^2 ausdrücken und dafür gibts ja so Integrationsgesetze im Formelbuch ^^

18.04.2015, 11:35

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

so also, habe noch nie damit hinten im Buch gearbeitet mit den Substitutions transformationen und fühle mich bissl überrumpelt

also x = 4/cos(u)

und dx = (4*sin u /cos^2 ) du

soo... und dann einsetzen, dann kriege ich das hier raus

und ich finde das sieht mega kompliziert aus, oder habe ich was beim einsetzen falsch gemacht oO

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{5} \! \frac{\sqrt{\frac{4}{cosu}^2-8^2 } }{\frac{4}{cosu} } * \frac{4*sinu}{cos^2u} \, du \end{eqnarray*}$

edit:

vorallem weiß ich nicht ob im Wurzelausdruck nicht nochmal eine "*4" vor dem Bruch muss

18.04.2015, 11:45

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

smile

die Ableitung stimmt , denke beim Cos fehlt noch ein u(Abschreibfehler)

Ansonsten ist das gar nicht so schlecht, aber der Wurzelausdruck stimmt nicht

Nutze dann die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos^2(x)} =1 +tan^2(x) \end{eqnarray*}$

dann kommst Du auf einen relativ einfachen Ausdruck.

18.04.2015, 12:04

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

wo fehlt ein u geschockt

geschockt

smile

smile

smile

bevor ich weiter rechne und das mich dann gleich verwirrt

Wie kommst du immer auf diese Schritte o:

wenn du mir das sagst und ich im Formelbuch nachgucke, stimmt das alles, aber selber würde ich auf die Ansätze nie kommen, ist das Übungssache ?

18.04.2015, 12:07

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

hier(nur ein Abschreibefehler) denke

und dx = (4*sin u /cos^2 ) du

cos^2 (u)

PS: Das ist eine bekannte Beziehung aus dem Formelbuch

ist das Übungssache ? ->ja

smile

smile

18.04.2015, 12:10

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Wink

hier(nur ein Abschreibefehler) denke

und dx = (4*sin u /cos^2 ) du

cos^2 (u)

PS: Das ist eine bekannte Beziehung aus dem Formelbuch

smile

smile

hm in meinen Formelbuch (Bartsch) steht da ein cos^2 u .. . smile

smile

deswegen habe ich das so aufgeschrieben..

18.04.2015, 12:12

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

aber nicht bei dir
und dx = (4*sin u /cos^2 ) du

hier fehlt ein(u) , sonst stimmt es .

smile

smile

18.04.2015, 13:21

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

sooo bin wieder da Big Laugh

Big Laugh

musste essen eben machen

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{5} \! \frac{\sqrt{\frac{4}{cosu}^2-8^2 } }{\frac{4}{cosu} } * \frac{4*sinu}{cos^2u} \, du \end{eqnarray*}$
dann erstmal würde ich den Zähler halt Wurzel und quadrat weg kürzen

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{5} \! \frac{\frac{4}{cos(u)}-8 }{\frac{4}{cos(u)} } * \frac{4*sinu}{cos^2(u)} \, du \end{eqnarray*}$

und dann

würde ich das eig. wegkürzen

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{5} \! 1- \frac{8}{\frac{4}{cos(u)} } * \frac{4*sin(u)}{cos^2(u)} \, du \end{eqnarray*}$

18.04.2015, 13:46

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Hab das so gerechnet:

4 im Zähler ausgeklammeert.

$\begin{eqnarray*} = 2 *\int \frac{\sqrt{x^2-16} }{x} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \int \frac{\sqrt{\frac{16}{cos^2(t)} -16} }{\frac{4 }{cos(t)} } *\frac{4 sin(t)}{cos^2(t)} \, dt \end{eqnarray*}$

Und wenn Du jetzt die von mir angegebene Beziehung einsetzt , kommst Du auf

$\begin{eqnarray*} 8 \int tan^2(t) \, dt \end{eqnarray*}$

18.04.2015, 14:14

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

edit : danke ich schaue mir das ebene in ruhe
smile

smile

das macht auch jetzt sehr viel Sinn, das wir den faktor 4 raus gezogen haben, damit man auch die form wie in der fomelsammlung mit wurzel(x^2-a^2) erhält ..
hätte ich auch bis dahin selber drauf kommen können... *grml*

aber ich schau mir den rest mal eben an smile

smile

und rechne dann weiter

18.04.2015, 14:20

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

genau, deswegen.

smile

smile

rechne in Ruhe

18.04.2015, 14:25

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

sind die Grenzen schonmal richtig, erstmal ? smile

smile

u=arrcos (4/x )

obere Grenze x = 5

entspricht u= 36,86

unten u = 0

sooo habe deine Umformung jetzt auch verstande nund rechne mal weiter..

aber ich würde selber ohne den Ansatz niiiiemals dadrauf kommen verwirrt

verwirrt

18.04.2015, 14:33

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

ja , aber die 36,86 sind Grad

Ich empfehle Dir , das Integral zuerst zu berechnen und die Grenzen zum Schluß ein zusetzen ,aber es ist Geschmacksache.

smile

smile

18.04.2015, 14:45

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

ja werde die auch zum schluss einsetzen smile

smile

wollte das nur vorab schonmal wissen, ist das schlimm das das in grad ist ?

oder soll ich das dann in Rad angeben nämlich 0,64 ?

sooo

$\begin{eqnarray*} 16\int_{a}^{b} \! tan^2 \, du \end{eqnarray*}$

also eig. würde ich das jetzt mit der Integraltafel lösen oder durch partielle Integration, aber da ich Substituieren muss würde ich als ansatz vllt mit dieser winkelbez arbeiten

$\begin{eqnarray*} tan^2 =\frac{1-cos(2u)}{1+cos(2u)} \end{eqnarray*}$

18.04.2015, 15:01

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

1.) oder soll ich das dann in Rad angeben nämlich 0,64 ?

nimm besser die 0.64 in RAD

2.)
$\begin{eqnarray*} 16\int_{a}^{b} \! tan^2 \, du \end{eqnarray*}$

---->der Faktor 16 ist falsch, hier muß 8 stehen.

Es muß heißen:

$\begin{eqnarray*} tan^2(u) du \end{eqnarray*}$

3.)
also eig. würde ich das jetzt mit der Integraltafel lösen oder durch partielle Integration, aber da ich Substituieren muss würde ich als ansatz vllt mit dieser winkelbez arbeiten

$\begin{eqnarray*} tan^2 =\frac{1-cos(2u)}{1+cos(2u)} \end{eqnarray*}$

das ist viel zu kompliziert. Verwende doch "meine Beziehung" wieder.
Stelle diese Beziehung nach tan^2(u) um.

dann erhälst Du folgendes:

$\begin{eqnarray*} 8 \int( \frac{1}{cos^2(u)} -1 ) \, du \end{eqnarray*}$

Das spaltest Du in 2 Teilintegrale auf und hast 2 sehr einfache Integrale zu lösen.

Nun mußt Du noch resubstituieren und setzt die Grenzen ein.

Ich habe 0.852 erhalten.

Viel Spaß dabei.

smile

smile

18.04.2015, 15:22

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 8(\int_{a}^{b} \! \frac{1}{cos^2(u)} \, du - u ) \end{eqnarray*}$

soooo aber ich darf keine Stammintegral, bei dieser Aufgabe benutzten, da ich es doch expliziert lösen muss oder ?

18.04.2015, 15:27

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Wenn Du alles zusammen zählst, hast Du doch 3 Mal substituiert.
Klar darst Du Stammintegrale nutzen.
Rechne mal ruhig weiter.

smile

smile

18.04.2015, 15:35

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm *grml* Big Laugh

Big Laugh

für mich ist das wie einmal Substituieren, weiß jetzt auch nicht wo die 3 mal gewesen sein sollen ?

meint er mit "3 mal " ,

da ich 2 mal am anfang x = 4/cos(u) eingesetzt habe

und dann noch einmal da ich dx zu du substituiert habe ? smile

smile

ok ich rechne weiter, aber ich glaube das sollte ich jetzt schaffen Big Laugh

Big Laugh

18.04.2015, 15:41

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

hier die aktuelle Chronologie :

Wo sind in dem Artikel die 3 Substitutionen versteckt?

Big Laugh

Big Laugh

1 . Substitution: 11:27
2 . Substitution: 11:45
3 . Substitution: 15.01

Tanzen

Tanzen

PS:

Wenn Du viel Spaß mit Mathe hast , gibt es noch einen 2.Weg zur Lösung dieser Aufgabe:

Substituiere

x= 4 cosh t

Dort gibt es auch 3 Substitutionen zur Lösung.

Wink

Wink

18.04.2015, 15:48

96MichelleMichi96

Auf diesen Beitrag antworten »

oh super danke Freude

Freude

das sind unsere sogenannten "Knobelaufgaben" und wenn man die alle lösen kann und versteht, hat man gute Chancen in der Mathematik II Klausur.
In der Klausur sind die Aufgaben nämlich einfacher im vergleich zu diesen.

Deswegen Rechne ich die immer durch Zuhause, wenn ich Zeit & Lust finde, damit ich gut vorbereitet bin Big Laugh

Big Laugh

vielen vielen dank, warst eine super hilfe Big Laugh

Big Laugh

habe alles verstanden Freude

Freude

smile

smile

smile

edit :

und werde ich bestimmt machen Big Laugh

Big Laugh

aber ich muss erstmal noch 2 andere Aufgaben lösen zur Integrations damit ich das erstmal das hinter mir habe Big Laugh

Big Laugh

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »