Linear abhängige und unabhängige Vektoren

17.04.2015, 17:02

garfield91

Linear abhängige und unabhängige Vektoren

Hallo zusammen,
nachdem meine Matheklausur leider nicht so ausgefallen ist wie gewünscht,bin ich zur Klausureinsicht und habe gesehen,dass ich bei folgender Aufgabe entscheidende Punkte verloren habe.

Aufgabe :

Gegeben sind drei linear unabhängige Vektoren a, b, c. Zeigen Sie, dass die drei Vektoren d, e, f linear abhängig sind.

d = 2a-3b+c
e = a+2b-3c
f = -2a+b+2c

In der Klausur habe ich die Vekoren d,e,f in eine Matrix übernommen und mit der Regel vom Sarrus die Determinante bestimmt und somit die lineare Abhängigkeit überprüft.
Das hat leider nur 5 von 20 Punkten gegeben,da der Professor der Meinung ist,dass man Vektoren nicht in eine Matrix schreiben darf.

Wie wäre diese Aufgabe anders zu lösen?

mfG,
Markus

17.04.2015, 18:42

Helferlein

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Aus der verschwindenden Determinante folgt zunächst einmal ja nur die lineare Abhängigkeit der Koordinatenvektoren. Was das aber mit dem eigentlichen Problem zu tun hat, hast Du vermutlich nicht begründet.

Gefragt war vermutlich nach einem direkten Weg, nämlich das Lösen von $\begin{eqnarray*} \delta d + \eta e + \lambda f =0 \end{eqnarray*}$

17.04.2015, 19:04

garfield91

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Hallo Helferlein,
vielen Dank für deine Antwort.

Habe ich das richtig verstanden,dass ich somit eigentlich 3 Gleichungen aufstellen muss?

$\begin{eqnarray*} I.) 2\alpha - 3\beta +\gamma = 0 II.) \alpha + 2\beta - 3\gamma = 0 III.) -2\alpha +\beta +2\gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Falls das richtig wäre,wie müsste ich dann weiter machen?
Mit Additionsverfahren und Subtraktionsverfahren?

mfG,
Markus

17.04.2015, 19:13

Helferlein

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Nein, das hast Du nicht richtig verstanden.
Da stehen drei Vektoren d, e, f in meiner (Vektor)gleichung. Der nächste Schritt wäre das Einsetzen, um auf eine Gleichung mit a, b, c zu kommen. Anschließend sortierst Du das ganze und nutzt die Unabhängigkeit von a,b,c aus.

17.04.2015, 19:24

garfield91

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Ah,okay,dann habe ich das falsch verstanden.
Wäre der Ansatz denn so richtig?

$\begin{eqnarray*} \alpha (2a-3b+c) + \beta (a+2b-3c)+\gamma (-2a+b+2c) \end{eqnarray*}$

Falls es diesmal richtig sein sollte, wie müsste ich dann weiter machen?
Ich habe das leider noch nicht so ganz verstanden, wie ich das mit der Unabhängigkeit nutze.
Sorry,dass es bei mir etwas länger dauert. Hammer

mfG,
Markus

17.04.2015, 19:58

Helferlein

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Da fehlt ein "=0"
Jetzt sortierst Du das ganze um, so dass Du eine Linearkombination von a, b, c erhältst.

17.04.2015, 20:17

Dopap

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wenn man nicht so richtig sattelfest ist, sollte man schon

$\begin{eqnarray*} \alpha (2\vec a-3\vec b+\vec c) + \beta (\vec a+2\vec b-3\vec c)+\gamma (-2\vec a+\vec b+2\vec c) = \vec 0 \end{eqnarray*}$

schreiben.

17.04.2015, 22:00

RavenOnJ

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RE: Linear abhängige und unabhängige Vektoren
Wenn man das als Matrixgleichung schreibt, dann sieht es so aus:

$\begin{align*} \mathbf A \cdot \mathbf B=\begin{pmatrix}2&-3&1\\1&2&-3\\-2&1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\mathbf a\\ \mathbf b\\ \mathbf c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3&1\\1&2&-3\\-2&1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\mathbf d\\ \mathbf e\\ \mathbf f\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d_1&d_2&d_3\\ e_1&e_2&e_3\\ f_1&f_2&f_3\end{pmatrix}=\mathbf D \end{align*}$

mit der Matrix $\begin{align*} \mathbf B \end{align*}$ aus den Basisvektoren $\begin{align*} \mathbf a, \mathbf b,\mathbf c \end{align*}$ . Die Matrix $\begin{align*} \mathbf D \end{align*}$ besteht aus linear abhängigen Zeilenvektoren, wenn ihr Rang kleiner als 3 ist. Da der Rang der Matrix $\begin{align*} \mathbf B \end{align*}$ aus Basisvektoren definitionsgemäß 3 sein muss, reicht es festzustellen, wie groß der Rang von $\begin{align*} \mathbf A \end{align*}$ ist. Dieser muss kleiner als 3 sein, damit die Vektoren $\begin{align*} \mathbf d, \mathbf e,\mathbf f \end{align*}$ linear abhängig sind bzw. $\begin{align*} \operatorname{rang}(\mathbf D)<3\Leftrightarrow \det(\mathbf D)=0 \end{align*}$ , wegen des Multiplikationsgesetzes für Determinanten. Du musst also nur feststellen, ob $\begin{align*} \operatorname{rang}(\mathbf B)=3\Rightarrow \det(\mathbf B)\not=0\Rightarrow (\operatorname{rang}(\mathbf D)<3\Leftrightarrow \det(\mathbf A)=0) \end{align*}$ .

Ich nehme mal an, du erinnerst dich nicht richtig an die Koeffizienten der Matrix $\begin{align*} \mathbf A \end{align*}$ , da $\begin{align*} \det(\mathbf A)\not=0 \end{align*}$ . Oder die Frage war eher, ob die Vektoren $\begin{align*} \mathbf d, \mathbf e,\mathbf f \end{align*}$ linear abhängig sein können. Es ist nämlich $\begin{align*} \det(\mathbf D)=\det(\mathbf A)\cdot\det(\mathbf B)\not=0\Rightarrow \operatorname{rang}(\mathbf D)=3 \end{align*}$ . Also sind die Vektoren $\begin{align*} \mathbf d, \mathbf e,\mathbf f \end{align*}$ linear unabhängig.

21.04.2015, 11:44

garfield91

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Hallo zusammen,
okay,danke für eure Hilfe bis hierher.
Ich habe es jetzt so gemacht.
$\begin{eqnarray*} I.) 2\alpha + \beta - 2\gamma = 0 II.) -3\alpha + 2\beta + \gamma = 0 III.) \alpha - 3\beta + 2\gamma = 0 \end{eqnarray*}$

Aufgelöst ergibt sich so für $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta , \gamma \end{eqnarray*}$ 0 und somit wäre die lineare Abhängigkeit bewiesen,oder?

mfG,
Markus

21.04.2015, 12:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von garfield91
Aufgelöst ergibt sich so für $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta , \gamma \end{eqnarray*}$ 0 und somit wäre die lineare Abhängigkeit bewiesen,oder?

Im Gegenteil. Wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = \gamma = 0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung wäre, dann sind die Vektoren linear unabhängig. (Siehe auch die Definition der linearen Unabhängigkeit)

21.04.2015, 13:26

garfield91

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Ahh,okay,ich verstehe jetzt wie du das meinst.
Danke!

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