Trigonometrische Funktionen linear unabhängig??

17.04.2015, 21:45

Widderchen

Trigonometrische Funktionen linear unabhängig??

Meine Frage:
Hallo,

ich soll überprüfen, ob die Funktionen sin(x) , sin(2x) und sin(4x) linear unabhängig sind oder nicht.

Meine Ideen:
Ich habe durch mehrfaches Anwenden von Additionstheoremen und dem trigonometrischen Pythagoras folgenden Zusammenhang erhalten:

$\begin{eqnarray*} sin(4x) = sin(2x + 2x) = ... = 2 \cdot sin(2x) - 4 sin(2x) \cdot sin^{2}(x) \end{eqnarray*}$ .

Erhalte ich aus dieser Identität - vorausgesetzt sie ist korrekt - irgendwelche Informationen über die lineare Unabhängigkeit oder nicht ?

Viele Grüße
Widderchen

17.04.2015, 22:23

Rabbi

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Hallo !

$\begin{eqnarray*} \sin 2x=2\cdot\sin(x)\cdot\cos(x)=k\cdot\sin x \end{eqnarray*}$

17.04.2015, 22:33

Widderchen

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Ja,

das ist das Additionstheorem, welches ich bei der Darstellung von sin(4x) verwendet habe. Aber wenn schon ein Zusammenhang zwischen sin(2x) und sin(x) besteht, ist die lineare Unabhängigkeit damit nicht gegeben, ist das richtig?

Vielen Dank
Widderchen

17.04.2015, 22:45

HAL 9000

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Du bist also der Meinung, die drei Funktionen sind nicht linear unabhängig? verwirrt

Auf Definitionsbereich $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ sind sie das aber - streng nach Definition gehen: Sie sind linear unabhängig, wenn aus

$\begin{align*} a\sin(x) + b\sin(2x) + c\sin(4x) = 0 \quad \forall x\in\mathbb{R} \qquad (*) \end{align*}$

folgt, dass $\begin{align*} a=b=c=0 \end{align*}$ ist.

Das kann man sehr gut durch Einsetzen spezieller $\begin{align*} x \end{align*}$ -Werte in (*) erreichen, z.B. durch $\begin{align*} x=\frac{\pi}{2} \end{align*}$ , dann $\begin{align*} x=\frac{\pi}{4} \end{align*}$ und letztlich $\begin{align*} x=\frac{\pi}{8} \end{align*}$ in genau der Reihenfolge.

17.04.2015, 23:44

Widderchen

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Hallo,

den von dir vorgeschlagenen Ansatz hatte ich auch schon ausprobiert, ich hatte lediglich andere x-Werte (und damit wohl die falschen) gewählt.
Woher weiß man konkret, welche x-Werte gewählt werden müssen?? Erfolgt die Wahl intuitiv oder gibt es eine Methode dafür?

Vielen Dank für die Hilfe, HAL9000!! smile

Widderchen

18.04.2015, 16:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Widderchen
Woher weiß man konkret, welche x-Werte gewählt werden müssen??

Die Werte müssen nicht gewählt werden, sie können gewählt werden.

Eigentlich kann man drei nahezu beliebige Werte wählen, und dann das entstehende lineare Gleichungssystem für $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ lösen - ich habe eben drei gewählt, wo die Gleichungssystemstruktur sehr einfach wird (viele Nullen in der Koeffizientenmatrix).

"Nahezu" beliebig heißt: Desaströse Wahlen wie $\begin{eqnarray*} x=0,\pi,2\pi \end{eqnarray*}$ oder ähnlich gehen natürlich nicht. smile

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